Stammfunktion Funktion 1. Ableitung: Wieso gilt die Beziehung?

Question

Wieso gilt die Beziehung?

\( \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{1}{x+1}-1 \quad(f(x) \neq 0) \)

\( \begin{array}{ll}\frac{x^{\prime}(t)}{f(t)} d t=\int \limits_{x}^{x}\left(\frac{1}{t+1}-1\right) i t & (a \in I D) \\ \ln |f(x)|=\ln |x+1|-x+c & & (c \in \mathbb{R})\end{array} \)

Also warum ist das: Integral von f ' / f   =   ln (f(x)

Answer 1

Hi,

ein Vorschlag:


A = ∫f'/f dx

Substituieren: y = f --> dy/dx = f

A = ∫ (dy/dx) * 1/y dx = ∫1/y dx = ln|y|+c


Resubstituieren:

--> ln|f|+c


Grüße

Answer 2

ln(f(x)) ' =?

Innere Funktion u = f(x), hat u' = f ' (x)

ln(u) ' = 1/u

Kettenregel

(ln (f(x))' = 1/f(x) * f ' (x) = f(x) / f ' (x)