Kurvendiskussion an einer Funktionsschar

Question

Die Funktionsschar ft(x) lautet: (x² + t -1)/(x + 1), dabei gilt t > 0.

1. Wie lautet die Definitionsmenge?

2. Wie finde ich die Nullstellen heraus?

3. Wie finde ich die Polstelle raus, wenn t in der Funktion steht?

4. Wie lautet die Asymptote

5. Wie bestimme ich die Ortskurve der Tiefpunkte?

6. An welchen Stellen verläuft der Graph von f4 parallel zur Winkelhalbierenden des 2. Quadranten?

Answer 1

f _t(x)  =  $\frac{x^2 + t -1}{x + 1}$

1. )Wie lautet die Definitionsmenge?

Alle x außer x= - 1

2. )Wie finde ich die Nullstellen heraus?

f _t(x)  =0

$\frac{x^2 + t -1}{x + 1}$ =  0  

x²  =  1 - t

x₁ =$\sqrt{1-t}$     wobei t nicht größer als 1 werden darf.

x₂= -$\sqrt{1-t}$                        "

3. )Wie finde ich die Polstelle raus, wenn t in der Funktion steht?

Polstelle findest du, wenn der Nenner =  0       x + 1=0    x= - 1   siehe auch  1.)

4. )Wie lautet die Asymptote

(x² +  t - 1  ) : (x+1)  = x

- (x²   +   1)

----------------

        t - 2

1.  Asymptote:  y=x

2. Asymptote: $\frac{t - 2}{ x+1}$

5.) Wie bestimme ich die Ortskurve der Tiefpunkte?

f´(x)=0

f´(x)=  $\frac{(2 x*(x+1)-(x^2+t-1))}{(x+1)^2}$     =        $\frac{x^2+2x-t+1}{(x+1)^2}$

$\frac{x^2+2x-t+1}{(x+1)^2}$    = 0

x²+2x=   t - 1

(x+1)²=  t - 1+1 = t

x₁  =  - 1  +  $\sqrt{t}$  → f_t (x₁)  =  ...

x₂=   - 1  - $\sqrt{t}$  → f_t (x₂)  =  ...

Art des Extremwertes mit f´´(x₁) und   f´´(x₂)  Mit dem Wert >0 liegt ein Minimum andernfalls ein Maximum vor.

Die Ortskurve bestimmen ist noch nicht so mein Gebiet.

Comments

Ich danke dir! :)

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Ich habe bei der Asymptote etwas anderes am Ende raus kannst du‘s nochmal überprüfen?

Text erkannt:

$f_{t}(x)=\frac{x^{2}+t-1}{x+1}$
$f_{t}(x)=\left(\begin{array}{c}\left.x^{2}+t-1\right):(x+1)=x-1+\frac{t}{x+1} \\ \frac{x^{2}+x}{t-x-1} \\ \frac{-x-1}{t}\end{array}\right.$
$A(x)=x-1$

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Du hast recht! Ich habe leider die Polynomdivision "verbretzelt"

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Gut, passiert ^^‘! Danke

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- (x^2  +  1)

Statt +1 muss es +x heißen.

:-)

Answer 2

Hallo

D(f) Nenner ungleich 0

2. Zähler =0

3. Polstelle immer bei Nenner=0 nur nicht wenn Zähler auch =0 aber wegen t>0  passiert das nie

4. durch x kürzen, dann x gegen oo gibt die Asymptote (Kontrolle y=x)

5. f'=0 f''>0 dann  aus  yT=f(xT) t eliminieren

6) f'(x)=-1

Gruß lul

Comments

Besten Dank! Ich hätte da noch eine Frage wie leite ich hier die Ableitungen (1.-3.) heraus?

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Hallo

leider versteh ich die Frage nicht. geht es um 6)?

die Wh im zweiten Quadranten hat die Steigung -1 war das die Frage?

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Ich muss des Weiteren noch Extrema und Wendepunkt herausfinden. Dafür bräuchte ich die 1.-3. Ableitung stimmts? Wie bildet man die hier war meine Frage. ^^

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Und zu 3. gibt es also keine Polstelle da t > 0 ist? Oder ist hier -1 die Polstelle, da dann der Nenner 0 wäre und der Zähler nicht. Und wenn ich den Graph zeichne darf ich für t einfach eine beliebige Zahl größer als 0 einsetzten?

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4. durch x kürzen, dann x gegen oo gibt die Asymptote (Kontrolle y=x)

y=x-1

:-)