Asymptote einer Funktionsschar

Question

Die Funktionsschar ft(x) lautet: (x2 + t -1)/(x + 1), dabei gilt t > 0.

Wie lautet die Asymptote? Muss man hier die Polynomdivision nutzen? Wenn ja wie? Ich komme hier nicht mit dem „t“ klar.

Ich muss des Weiteren noch Extrema und Wendepunkt herausfinden. Dafür bräuchte ich die 1.-3. Ableitung stimmts? Wie bildet man die hier?^^

Danke

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Schau mal hier :

https://www.mathelounge.de/806085/kurvendiskussion-an-einer-funktionsschar

Answer 1

Hallo,

\(f(x)= \dfrac{  x^2+t-1}{x+1 }\\= \dfrac{  x^2-1}{x+1 }+     \dfrac{  t}{x+1 } \\=x-1 +\dfrac{t}{x+1} \)

Für \(x\to\infty\) bleibt a(x)=x-1 übrig.

Die Ableitungen:

\(f(x)=x-1+t\cdot(x+1)^{-1}\\ f'(x)\\=1+(-1)\cdot t(x+1)^{-2}\\=1-\dfrac{t}{(x+1)^{2}} \\ f''(x)\\=(-2)\cdot(-1)\cdot t(x+1)^{-3}\\=\dfrac{2 t}{(x+1)^{3}} \)

Da t>0 ist, brauchst du die dritte Ableitung nicht, denn es gibt keine Wendepunkte.

:-)

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Besten Dank! ^^

Answer 2

$$ft(x) = (x^2 + t -1)/(x + 1)$$$$ft'(x)=(2x(x+1)-(x^2+t-1))/(x+1)^2$$$$ft'(x)=1-t/(x+1)^2$$$$ft'(x)=1-t(x+1)^{-2}$$$$ft''(x)=2t(x+1)^{-3}$$$$ft'''(x)=-6t(x+1)^{-4}$$

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Hallo Hogar,

in der letzten Zeile fehlt der dritte Strich.

:-)