Bestimmen Sie die Menge aller x ∈ R für die gilt

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Menge aller x ∈ R für die gilt

| 2x-1| > |4x-6|

Answer 1

Unterscheide 4 Fälle

1.) 2x-1 > 0 und 4x-6 > 0

2.) 2x-1 > 0 und 4x-6 < 0

3.) 2x-1 < 0 und 4x-6 > 0

4.) 2x-1 < 0 und 4x-6 < 0

Und berechne für jeden Fall die Lösungsmenge. Bilde die Vereinigung aller Lösungsmengen: {x|1\( \frac{1}{6} \)<x<2,5}

Comments

Statt Durchschnitt sollte es Vereinigungsmenge lauten,oder?

Es genügen 3 Fälle.

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Du hast natürlich recht.

Answer 2

Es ist

        \(|z| = \begin{cases}z&\text{falls } z\geq 0\\-z&\text{falls } z<0\text{.}\end{cases}\)

Damit ergeben sich vier Fälle.

1. 2x-1 ≥ 0 und 4x-6 ≥ 0

   Die Lösung der Ungleichung

           |2x-1| > |4x-6|

   ist dann die Lösung der Ungleichung

           2x-1 > 4x-6.

2. 2x-1 ≥ 0 und 4x-6 < 0

   Die Lösung der Ungleichung

           |2x-1| > |4x-6|

   ist dann die Lösung der Ungleichung

           2x-1 > -(4x-6)

3. 2x-1 < 0 und 4x-6 ≥ 0
4. 2x-1 < 0 und 4x-6 < 0

Comments

3 Fälle tun doch auch, oder? :)

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Nein, es müssen alle vier Fälle untersucht werden.

Natürlich kann sich bei dieser Untersuchung herausstellen, dass ein Fall ein Spezialfall eines anderen Falles ist oder das der Definitionsbereich eines Falles leer ist.

Answer 3

Mein Tipp wäre:

(1.) Zeichne die Graphen von  y₁ = |2x-1|  sowie y₂ = |4x-6|  in der x-y-Ebene.

(2.) In der Zeichnung wird die Lösungsmenge sofort sichtbar.

(3.) Berechne noch die zwei nötigen Schnittpunkte, um dann die Lösungsmenge als Intervall hinschreiben zu können.

Answer 4

Der erste Betrag liefert die Fälle x<0,5 und x≥0,5 und

der zweite x<1,5 und x≥1,5. Also musst du letztlich 3 Fälle unterscheiden:

1. Fall  x < 0,5  ( dann ist natürlich auch x<1,5) und es gilt

               | 2x-1| > |4x-6|

<=>               -2x+1 > -4x+6

<=>              2x > 5   <=>  x > 2,5 .

Wegen x<0,5 gibt es also für diesen Fall keine Lösungen.

2 Fall x ≥ 0,5   und x <1,5    dann gilt
                |2x-1| > |4x-6|
<=>              2x-1 > -4x+6 
<=>              6x > 7  <=>  x > 7/6 

Also dieser Teil der Lösungsmenge L1 = ] 5/6 ; 1,5 [.

3. Fall x ≥ 1,5 
                |2x-1| > |4x-6|
<=>              2x-1 > 4x-6

<=>              -2x > -5   <=>  x < 2,5  

Also dieser Teil der Lösungsmenge L1 = [1,5 ; 2,5 [.

Insgesamt L =  ] 5/6 ; 2,5 [.

grafisch so: ~plot~ abs(2x-1) ;abs(4x-6) ~plot~

Answer 5

Es gibt 3 Fälle:

1. x<1/2

-2x+1>-4x+6

2x>5 (entfällt)

x>2,5

2. Fall:

1/2<=x<3/2

2x-1>-4x+6

6x>7

x>7/6

L= {x|7/6<x<3/2}

3.Fall:

x>=3/2

2x-1>4x-6

2x<5

x<5/2

L={x|1,5<x<5/2}

Gesamtlösungsmenge {x|7/6<x<5/2}