Finde ein Beispiel für eine Abbildung, deren Additivität erfüllt ist, aber nicht die Multiplikativität.

Question

Aufgabe:

Finde ein Beispiel für eine Abbildung F: V->W, sodass die Additivität erfüllt ist, jedoch nicht die Multiplikativität.

Problem/Ansatz:

Mir fällt leider kein Beispiel für eine solche Abbildung ein, deswegen bin ich für jeden Vorschlag dankbar.

Answer 1

Hallo,

nimm für $V,W$ jeweils $\mathbb{C}$ als $\mathbb{C}$-Vektorraum und $f(z):=\Re (z)$

Gruß

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort!

Können Sie mir sagen ob mein Beweis für die Additivität richtig ist?

Ich habe jetzt f:C->C , x+iy -> x-iy gewählt.

Prüfen für Additivität:

f(x+iy)+(x-iy)= f(2x)

f(x+iy)+f(x-iy)= f(x+x) + (iy-iy) = f(2x)

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So geht es nicht. Du nimmst also jetzt $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$, $f(x+iy):=x-iy$. Dann musst Du für die Additivität zeigen:

$$\forall w,z \in \mathbb{C}: f(w+z)=f(w)+f(z)$$

Sei also $w=r+is,z=x+iy \in \mathbb{C}$, dann gilt:

$$f(w+z)=f((r+x)+i(s+y))=(r+x)-i(s+y)$$$$=(r-is)+(x-iy)=f(w)+f(z)$$

Andererseits ist

$$f(i \cdot 1)=-i \text{ aber }i\cdot f(1)=i$$

Also liegt keine Homogenität (Multiplikativität) vor.

Gurß MahtePeter