Lineare Funktion - Additivität überprüfen

Question

wenn eine Funktion linear ist, so muss sie ja

1. additiv, d.h. f(x+y)=f(x)+f(y)

2. homogen, d.h. f(αx)=αf(x)

sein.

Nehmen wir z.B. die Funktion f(x)=x-2, die ja linear ist.

Wenn ich nun das erste Kriterium (Additivität) untersuche, erhalte ich:

f(x+y) = (x+y)-2 = x+y-2 ≠ x+y-4 = x-2+y-2 = f(x)+f(y)

Also wäre es nicht erfüllt, aber das kann doch nicht!

Wo ist mein Denkfehler?

Answer 1

Du hast die Definition vollkommen richtig angewandt. Damit ist diese Funktion nicht additiv, weil sie eben nicht die Gleichung f(x+y)=f(x)+f(y) erfüllt und du stattdessen einen Widerspruch erhältst.

Funktionen der Form g(x)=a*x+b sind nicht additiv. Das sieht man schon, wie bei deinem Oben, dass g schon die erste Bedingung nicht übersteht.

$$ g(x+y)=a\cdot(x+y)+b=a\cdot x+b\cdot x+b≠a\cdot(x+y)+2\cdot b\\=a\cdot x+b+a\cdot y+b=g(x)+g(y) \\Widerspruch!$$

Comments

Fehler auf der linken Seite. Sorry , wenn das für Verwirrung gesorgt hat. Diese Seite soll lauten:

$$ g(x+y)=a(x+y)+b=ax+ay+b≠\cdots $$

Answer 2

Hallo,

lass dich nicht aufs Glatteis führen ;).

Funktionen der Form

f(x)=ax+b werde als lineare Funktionen eingeführt, weil sie Geraden darstellen.

Funktionen, welche die von dir ganz oben besagten Eigenschaften erfüllen, bezeichnet man hingegen als lineare Abbildungen. Nur lineare Funktionen, bei denen b=0 ist, sind auch lineare Abbildungen. Siehe auch

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Lineare_Funktion

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung