Problem:
Kann mir jemand erklären warum die Aussage
"Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann surjektiv, wenn f−1(Y ) = X gilt." (Urbild)
falsch ist?
Ich finde kein Beispiel, bei dem die Funktion surjektiv ist, aber f−1(Y ) = X nicht gilt.
Ist f : R→R, x↦2xf: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, x\mapsto 2^xf : R→R,x↦2x, dann ist f−1(R)=Rf^{-1}(\mathbb{R}) = \mathbb{R}f−1(R)=R obwohl fff nicht surjektiv ist.
Das liegt daran, dass
f−1(Y)=Xf^{-1}(Y) = Xf−1(Y)=X
ausnahmslos für jedes f : X→Yf: X\to Yf : X→Y gilt.
Mal angenommen wir hätten X = {1,2,3} und Y = {3,6,9,12},
dann wäre doch für eine Abbildung f : X → Y, x → 3x
das Urbild f-1(Y)={1,2,3,4} und das ist ungleich X. Oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?
x → 3x
Das gilt nur für die Element aus X.
f-1(Y)={1,2,3,4}
Das würde heißen, die 4 wird durch f auf ein Element von Y abgebildet.
Die 4 wird aber durch f nicht abgebildet, weil 4 nicht zum Definitionsbereich von f gehört.
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