Aussage zu Surjektivität widerlegen (Urbild)

Question

Problem:

Kann mir jemand erklären warum die Aussage

"Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann surjektiv, wenn f−1(Y ) = X gilt." (Urbild)

falsch ist?

Ich finde kein Beispiel, bei dem die Funktion surjektiv ist, aber f−1(Y ) = X nicht gilt.

Answer 1

Ist $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, x\mapsto 2^x$, dann ist $f^{-1}(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$ obwohl $f$ nicht surjektiv ist.

Ich finde kein Beispiel, bei dem die Funktion surjektiv ist, aber f⁻¹(Y ) = X nicht gilt.

Das liegt daran, dass

        $f^{-1}(Y) = X$

ausnahmslos für jedes $f: X\to Y$ gilt.

Comments

Mal angenommen wir hätten X = {1,2,3} und Y = {3,6,9,12},

dann wäre doch für eine Abbildung f : X → Y, x → 3x

das Urbild f-1(Y)={1,2,3,4} und das ist ungleich X. Oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?

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x → 3x

Das gilt nur für die Element aus X.

f^-1(Y)={1,2,3,4}

Das würde heißen, die 4 wird durch f auf ein Element von Y abgebildet.

Die 4 wird aber durch f nicht abgebildet, weil 4 nicht zum Definitionsbereich von f gehört.