Berechnen Sie \( z^{3} \) für \( z=1-i \) auf zwei verschiedene Weisen:
a) Berechnen Sie \( z^{3} \) direkt, indem Sie \( (1-i)^{t} \) ausmultiplizieren und vereinfachen.
b) Berechnen Sie \( z^{3} \) mit Hilfe der Moivreschen Formel. Dazu müssen Sie zuerst den Betrag \( r \) und das Argument \( \varphi \) von \( z \) bestimmen.
c) Tragen Sie \( z \) und \( z^{3} \) in die Gaubsche Zahlenebene ein.
Bitte um Korrektur meiner Lösungen:
Ansätze:
\( \left.\begin{array}{ll}z u & a\end{array}\right) \)
\( z^{3}:(l-i)^{3}=(1-i)^{*}(l-i)^{\bullet}(I-i) \)
\( (I-i)^{4}(1-i)=1-2 i+i^{2} \)
\( \left(1-2 i+i^{2}\right)^{*}(1-i)=1-2 i+i^{2}+2 i^{2}-i^{3} \)
Zusammenfassen und i "umformen" \( \left(i^{2}=-1\right): \)
\( 1-2 i+(-1)+2 *(-1)-(-1 i) \)
\( -2 i+l i-2=-1 i-2 \)
zu b)
Es gibt zwei gleichwerte Möglichkeiten, eine komplexe Zahl in Polarkoordinaten darzustellen, welche über den Satz von Euler miteinander in Verbindung stehen: \( r(\cos \varphi+i \sin \varphi)=r e^{i q} \)
