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Aufgabe:

Kann man die Parameter a, b, c, d und e so bestimmen, dass der Graph der Funktion f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e einen Tiefpunkt bei (0 / 0) und einen Terrassenpunkt bei (2 / 8/3) besitzt und zugleich noch durch den Punkt (1 / 11/6) geht?


Problem/Ansatz:

Ich hab leider gar keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll. Ich dachte an die erste Ableitung und danach den Tiefpunkt bei 0/0 ausrechnen aber da komme ich auch nicht weiter.

Die Endlösung ist: f(x)= 1/2x^4-8/3x^3+4x^2 es fehlen aber halt die Zwischenansätze. Ich hoffe es kann mir jemand weiterhelfen.

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Hallo und herzlich willkommen in der Mathelounge,

du bildest aus den Informationen der Aufgabe ein Gleichungssystem.

\(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\\f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\\ f''(x)=12ax^2+6bx+2c\)

Tiefpunkt bei (0|0)

f(0)=0 ⇒ e = 0

f'(0) = 0 ⇒ d = 0

Terrassenpunkt bei \((2|\frac{8}{3})\)

\(f(2)=\frac{8}{3}\Rightarrow 16a+8b+4c=\frac{8}{3}\\f'(2)=0\Rightarrow 32a+12b+4c=0\\\)

Geht durch den Punkt \((1|\frac{11}{6})\)

\(f(1)=\frac{11}{6}\Rightarrow a+b+c=\frac{11}{6}\)

Jetzt hast du drei Aussagen für die drei Unbekannten a, b und c. Das Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Gauß-Verfahren lösen.

Wenn du noch Fragen hast, melde dich einfach wieder.

Gruß, Silvia

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Vielen vielen Dank für die Hilfe, jetzt wird mir so einiges klar. Leider weiß ich aber nicht, was ich im nächsten Schritt tun soll. Zitat: ,,Jetzt hast du drei Aussagen für die drei Unbekannten a, b und c. Das Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Gauß-Verfahren lösen.´´

Ich hoffe du kannst auch hier mir helfen :)

Kennst du das Gauß-Verfahren nicht? Wie habt ihr denn bisher ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten gelöst?

Haben noch nie das Gauß-Verfahren benutzt.. Und das ist das erste Mal, dass ich so eine Aufgabe lösen muss.

OK, dann vielleicht so:

\(16a+8b+4c=\frac{8}{3}\\ 32a+12b+4c=0\\ \text{Ziehe die 2. Gleichung von der 1. ab. Das Ergebnis ist}\\ -16a-4b=\frac{8}{3}\\[20pt] a+b+c=\frac{11}{6}\\ \text{Multipliziere diese Gleichung mit -4 } \Rightarrow-4a-4b-4c=-\frac{44}{6}\\\text{und addiere sie zu der 1. Gleichung. Das Ergebnis ist}\\ 12a+4b=-\frac{14}{3}\)

Den Rest könntest du jetzt alleine schaffen.

und einen Terrassenpunkt bei (2 / 8/3) besitzt

Daraus folgen drei Gleichungen, nicht nur zwei. Das entstehende lineare Gleichungssystem ist daher zunächst überbestimmt.

Ja, ich habe f''(2) = 0  weggelassen, weil man auch ohne diese Angabe zu der angegebenen Lösung kommt.

Vielen Dank für die Hilfe. Den Rest schaffe ich selber.

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"Kann man die Parameter a, b, c, d und e so bestimmen, dass der Graph der Funktion f(x)=a x^4+b x^3+c x^2+d x+e einen Tiefpunkt bei M(0 | 0) und einen Terrassenpunkt bei (2 | 8/3) besitzt und zugleich noch durch den Punkt P(1 | 11/6) geht?"

Weg über die N u l l s t e l l e n f o r m der Parabel 4. Grades:

Terrassenpunkt bei T(2 | 8/3): Ich verschiebe um 8/3 nach unten T ´ ( 2 | 0)

Tiefpunkt bei M(0 | 0)->-> M ´ ( 0 | -8/3)

Punkt P(1 | 11/6) ->->  P ´ (  1 | -5/6)

T ´ ( 2 | 0)

p(x)=a*(x-2)^3*(x-N)

M ´ ( 0 | -8/3)

p(0)=a*(0-2)^3*(0-N)=8a*N

8a*N=-8/3->-> a=-1/(3N)

p(x)=a*(x-2)^3*(x-N)

p(x)=-1/(3N)[(x-2)^3*(x-N)]

Tiefpunkteigenschaft p ´ ( 0 ) = 0

p ´ ( x ) = -1 /( 3 N) [3*(x-2)^2* (x- N )+(x-2 )^3]

p ´ ( 0 ) = -1 /( 3 N) [3*(0-2)^2* (0- N )+(0-2 )^3]

-1 /( 3 N) [3*(0-2)^2* (0- N )+(0-2 )^3]=0->-> N=-2/3 ->->  a=-1/(3*(-2/3))=1/2

p(x)=1/2*(x-2)^3*(x+2/3) 

Nun wieder um 8/3 nach oben, ausmultiplizieren und a, b, c und d bestimmen.

Unbenannt1.PNG

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