Gegeben seien
$$ z_{1}=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i) \text { und } z_{2}=2 i $$
a) Skizzieren Sie \( z, \) und \( z_{2} \) in der Gaußschen Zahlenebene. (Hinweis: \( \sqrt{3} \approx 1,73 \) )
b) Schreiben Sie beide Zahlen in Polarkoordinaten. Überprüfen Sie Ihre Umrechnung durch Messen in der Zeichnung.
c) Benutzen Sie die Polarkoordinatendarstellung, un das Produkt \( z_1 · z_2 \) zu berechnen.
d) Überprüfen Sie Ihr Ergebinis, indem Sie das Produkt aus \( z_1 \) und \( z_2 \) direkt in kartesischer Darstellumg berechnen und erst danach in Polarkoordinaten umrechnen.
e) Tragen Sie das Produkt \( z_1 · z_2 \) in die Gaußsche Zahlenebene ein.
Ansatz:
Aus den kartesischen Koordinaten \( x \) und \( y \) einer komplexen Zahl \( z=x+i y \) erhält man ihre Polarkoordinaten durch \( r=[z]=\sqrt{x^{2}+y^{3}} \) und \( \phi =a r g(z)=\arctan \frac{y}{x} \).
Aus den Polarkoordinaten einer komplexen Zahl \( z = r(\cos \phi + i \sin \phi \) erhält man ihre kartesischen Koordinaten durch \( x=r·\cos \phi \) und \( y=r·\sin \phi \).
Wie geht man bei der Aufgabe vor? Man kann ein Koordinatensystem als 360° sehen (nicht mathematisch ausgedrückt nur als Gedanke). Ein Vektor wird eingezeichnet. Man liest ab, welche Koordinaten der Vektor hat, z.B. 3i+1
1 auf dem Realteil von z [Re z] (x-Achse) und 3 auf dem Imaginärteil von z [Im z] (y-Achse)
φ = arg (z) = arctan (1/3).
Beachte: Es heisst z1=1/2(√(3) + i) und z2=2i.
Lösungsversuch:
Ich bitte um Kontrolle meiner Lösungen. Da es für mich ein neues Thema ist, bin ich mir nicht sicher und benötige daher Unterstützung.
a)
√3≈1,73
1/2*(1,73+i)=0,866+1/2i=z1
2i=z2
b)
Vektoren: ("|-Zeichen" steht für Trennung von oberen und unteren Vektor)
u=(0,87|0,5)
v=(0|2)
c) Polarkoordinaten z1*z2:
\( r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) und \( \varphi=\arg (z)=\arctan \frac{y}{x} \)
\( r_{1}=\left|z_{1}\right|=\sqrt{0,866^{2}+0,5^{2}} \quad \) und \( \quad \varphi=\arg \left(z_{1}\right)=\arctan \frac{0,87}{0,5} \)
\( r_{2}=\left|z_{2}\right|=\sqrt{0^{2}+2^{2}} \quad \) und \( \quad \varphi=\arg \left(z_{2}\right)=\arctan \frac{0}{2} \)
oder Vektoren multiplizieren? \( \left(\begin{array}{c}{0,87} \\ {0,5}\end{array}\right) *\left(\begin{array}{l}{0} \\ {2}\end{array}\right)= \)
Wurzeln ausrechnen:
r1=|z1|=1
r2=|z2|=2
|z1|*|z2|=1*2=2
x=r1*cosφ und y=r1*sinφ
x=r2*cosφ und y=r2*sinφ
x=1*cos(0,87|0,5) und y=1*sin(0,87|0,5)
x=2*cos(0|2) und y=2*sin(0|2)
oder
x=1*cos(0,87) und y=1*sin(0,5)
x=2*cos(0) und y=2*sin(2)
