Bestimme fuer die unendliche Reihe den Konvergenzradius r

Question

Für die unendliche Reihe

\( \sum \limits_{i=1}^{\infty} \frac{i}{2^{i}} · x^{i} \)

bestimme man den Konvergenzradius r und das Konvergenzverhalten an den Rändern.

Answer 1

Nach Cauchy-hadamard ist der Konvergenzradius 2. Für x=2 ist die offensichtlich divergent. Für x=-2 ergibt sich die Reihe $$\sum _{n=1} ^\infty i (-1)^i = \sum_{\text{i ungerade}} (i+1) -i= \sum_{\text{i ungerade}} 1$$, ist also auch divergent.

Comments

Ich habe folgendes gerechnet

\( r=\lim \left|\frac{a_{i}}{a_{i}+1}\right| \Rightarrow \lim \frac{\frac{i}{2^{i}}}{\frac{i}{2^{i}+1}} \Rightarrow \lim \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2^{2}}}=\frac{2}{1} \)

ich dachte mir schon, ob alles umsonst war bei ihren ersten kommi.

also ist r=2 und somit divergent, also geht ins unendliche

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Deine Rechnung ist falsch und falsch aufgeschrieben, Zahlen folgen nicht aus Zahlen, Aussagen folgen aus Aussagen. Ersetze hier alle Folgepfeile durch =. Der Radius ist 2. Was soll der restliche Satz bedeuten? Damit Indeces machen was sie sollen in {}-Klammern, also z.B. _{i+1}