Das Krümmungsverhalten anhand der ableitungen erkennen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten der Funktion f mithilfe der Ableitungen

f(x)=x^3+4x^2

Problem/Ansatz:

Ich habe schon die Ableitungen gebildet

f‘(x)=3x^2+8x

f‘‘(x)=6x+8

Jedoch verstehe ich nicht wie ich das Krümmungsverhalten daraus erhalte.

Answer 1

Aloha :)

Über das Krümmungsverhalten gibt die zweite Ableitung Auskunft.

Ist \(f''(x)>0\), so ist die Funktion im Punkt \(x\) linksgekrümmt.

Ist \(f''(x)<0\), so ist die Funktion im Punkt \(x\) rechtsgekrümmt.

Im konkreten Fall ist \(f''(x)=6x+8\) und die zweite Ableitung wechselt ihr Vorzeichen bei \(x=-\frac{4}{3}\). Vor diesem Punkt ist die Funktion also rechtsgekrümmt, hinter diesem Punkt ist sie linksgekrümmt.

~plot~ x^3+4x^2 ; {-4/3|4,74} ; [[-5|2|-2|10]] ~plot~

Answer 2

Die Funktion ist linksgekrümmt, wenn f''(x) > 0 ist.

Die Funktion ist rechtsgekrümmt, wenn f''(x) < 0 ist.

Löse also die Ungleichung

        6x+8 > 0.