Rotationsvolumen durch Integration

Question

Hallo liebes Team :D

ich verzweifele seit nun mehr 5 Stunden an einer aufgabe.
Bestimmung eines Volumes des Kegelstumpfes der durch rotation im intervall 0
ich weiß nicht wie ich bei intervallen wie 0
bei intervallen wie (0;2) oder so wäre das ja kein problem aber diesmal habe ich 3 stück und dann auch noch x ?!?

Genauso bei Flächenbestimmungen durch intergration... Bei intervallen wo 3 grenzen angegeben sind habe ich keine ahnung was ich machen soll.

ich wäre Ihnen wirklich dankbar wenn die aufgabe so gut wie möglich gelöst wird. unter anderem so das ich es auch noch verstehe xD.
ich bedanke mich schonmal für eure mühen....

Answer 1

Du kannst einen Intervall in Intervallschreibweise (a,b) angeben oder in Mengenschreibweise {x ∈ ℝ | a < x < b}.

Also ist 0 < x < 4 das gleiche wie (0,4).

Nun zur eigentlichen Aufgabe. Rotation um die x-Achse

$$V=\pi \int_a^b (f(x))^2dx$$

Funktion und Grenzen einsetzen:

$$V=\pi \int_0^4 (\frac{1}{2}x+1)^2dx=\pi \int_0^4 (\frac{1}{4}x^2+x+1)dx\\=\pi*(\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{2}x^2+x )|_0^4= \pi*(\frac{1}{12}4^3+\frac{1}{2}4^2+4)=\pi(16/3+8+4)=\frac{52}{3} \pi$$

Gegenprobe mit Volumenformel für den Kegelstumpf

$$V=\frac{ h*\pi}{3}(R^2+Rr+r^2)$$

$$V=\frac{ 4*\pi}{3}(3^2+3 \cdot 1+1^2)=\frac{ 52}{3}\pi$$

Verstanden?

Comments

oh man...
ich habe schon am verzweifeln. Und doch ist es so einfach...

ja ich habs jetzt endlich verstanden.  
Super !!!!!

:)