Question

Dimension Lösungsraum bestimmen

Aufgabe:

Bestimme die Dimension des Lösungsraumes

Problem/Ansatz:

Gegeben A ∈ K nxn und A', wobei sich A' aus den ersten m Zeilen von A zusammensetzt. Damit ist A' ∈ K mxn. Angenommen A hat vollen Rang, also rang A = n. Dann hat A' Rang m. Gesucht ist jetzt die Dimension des Lösungsraums L(A'/0), d.h. die Dimension der Menge L(A'/0) = (x / A'x=0, x∈Kⁿ). Angeblich lässt sich die Dimension in diesem Fall berechnen durch dim L(A'/0)= n-m. Wie kommt man darauf? Ich habe leider keinen blassen Schimmer.

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Hallo oswald und mathef, erst einmal vielen Dank für eure Bemühungen! Bei dir mathef habe ich dasselbe Problem wie Oswald. Bei dir Oswald kann ich nur nicht verstehen, wieso du einen K^m vektor betrachtest. Sowohl A als auch A‘ haben doch n spalten und damit ist eine mögliche Lösung für das GLS doch ein Kⁿ Vektor. Trotzdem stimme ich dir zu, dass der Kern von A‘ 0 ist. Denn ich könnte A‘ ja zu einer Diagonalmatrix umformen durch das Gauß Verfahren (A‘ hat ja vollen Rang). In diesem Fall sieht man ja eindeutig dass die Spalten von A‘ linear unabhängig sind und damit Kern A‘ 0 sein muss. Aber dann ist doch die Dimension trotzdem nicht n-m. Diese letzte Behauptung ist mein riesen Problem. Die Basis des Lösungsraums wäre doch hier die leere Menge. Hat einer von euch dazu vielleicht noch eine Antwort?

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Sowohl A als auch A‘ haben doch n spalten und damit ist eine mögliche Lösung für das GLS doch ein Kⁿ Vektor.

Hast recht. Ich sehe auch nicht, wie ich meinen Ansatz noch rettten kann. Es könnte sein dass ich mich noch mal melde nachdem ich Matrix-Vektor-Multiplikation geübt habe.

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Das ist sehr nett von dir, aber mach dir nicht zu viel Mühe. Irgendwie werde ich das Mysterium schon noch lösen :D trotzdem vielen dank nochmal!

Answer 1

Bei der Umformung von A ( mittels Gauss-Alg.)

entstehen da ja genau n-m 0-Zeilen.

Also kann man n-m Variable frei wählen.

==>  dim(Lösungsraum) = n-m.

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A hat vollen Rang. Da entstehen keine 0-Zeilen.

Answer 2

Hallo,

ist das nicht einfach die Aussage des Rangsatzes angewandt auf A'?

Gruß

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Hallo MathePeter, welchen Satz genau meinst du? Ich versuche es vielleicht nochmal etwas anders. Im Grunde genommen geht es mir um einen Beweisschritt im Beweis zur Dimensionsformel von Bilinearformen. Der Satz besagt folgendes:

Sei <. > eine Bilinearform eines n-dimensionalen Vektorraums V. Wenn <. > nichtausgeartet ist, so gilt für alle Unterräume U von V dim(U) + dim(U^⊥) = n.

Den Beweis habe ich so verstanden. Da U ein K-Vektorraum, existiert eine Basis von U. Sei das B=(u1,u2,....,um). Dann ist dim U=m. Diese Basis können wir zu einer Basis von V erweitern. Sei die Basis von V  C=(u1,u2,...,um,vm+1, vm+2,....,vn). Wir wissen, dass die Menge U^⊥ alle v∈V beinhaltet, sodass gilt: <v.ui > =0 für 1≤ i ≥ m. Jedes v∈V lässt sich wiederum schreiben als Linearkombination aus den Vektoren u1,u2,...,vn mit gewissen k1,k2,kn ∈K, sodass gilt v=k1u1+k2u2+...+knvn. Unser Problem lässt sich also so umformulieren, dass wir alle k1,k2,...,kn suchen, für die gilt: <k1u1+k2u2+...+knvn,ui >

1≤ i ≥ m. Jetzt erhalten wir ein lineares Gleichungssystem Ax=0, wobei sich A aus den ersten m Zeilen der Grammatrix A' bzgl V zusammensetzt und x∈K^n. Damit ist L(A/0) = U^⊥ nur eben in Koordinatenform ausgedrückt. L(A/0) und U⊥ haben dieselbe Dimension. Wir müssen jetzt also dim L(A/0) bestimmen. Nun die Frage: Was ist dim L(A/0)? Laut Beweis ist es Rang(A')-Rang(A). Und da A' Rang n hat (da <. > nichtausgeartet ist und damit alle Spalten und Zeilen linear unabhängig ), hat A Rang m (da ebenso alle Zeilen linear unabhängig). Also L(A/0)= n-m. Diesen letzten Schritt kann ich leider nicht nachvollziehen. Das ist mein Problem

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Also ich verstehe, das so: \(A': \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\). DAnn gilt der Rangsatz (Manchmal auch Dimensionssatz):

$$n= \text{dim Kern} (A')+ \text{Rang} (A')$$

und der Rang ist m

Gruß

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@MathePeter, du hast Recht! Das kommt hin. Den Satz habe ich auch tatsächlich in meinen Aufzeichnungen gefunden. Das war ja eine lange Geburt :D Vielen Dank dir! By the way, bist du DER MathePeter? :o :D

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Nee ich bin nur ein einfacher MathePeter

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haha, auch gut. Dann bleib gesund, danke nochmal!