Question

BESTIMMTE INTEGRALE

WO STECKT DER FEHLER?

[1,-1] ∫ 1/x^2  dx = -(1/x) [1,-1] = (-1) - (1) = -2

Answer 1

\(\frac{1}{x^2}\) ist nicht auf dem ganzen Intervall \([-1, 1]\) definiert. Die Funktion hat eine Definitionslücke bei 0. Deshalb kann das Integral nicht mit dem Hauptsatz berechnet werden.

Stattdessen gilt wegen Symmetrie bezüglich der y-Achse

        \(\int\limits_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x = 2\lim\limits_{t\to 0}\int\limits_{-1}^t\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x\)

Answer 2

Aloha :)

Der Integrand \(\frac{1}{x^2}\) ist bei \(x=0\) nicht definiert. Du musst das Integral daher aufteilen:

$$\int\limits_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx=\int\limits_{-1}^0\frac{1}{x^2}dx+\int\limits_{0}^1\frac{1}{x^2}dx$$

Das Problem ist nun, dass keines der beiden Integrale exisitert:$$\lim\limits_{y\to0}\int\limits_{-1}^y\frac{1}{x^2}dx=\lim\limits_{y\to0}\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^y=\lim\limits_{y\to0}\left(-\frac{1}{y}-\frac{1}{-1}\right)=\lim\limits_{y\to0}\left(1-\frac{1}{y}\right)\to\text{nicht definiert}$$$$\lim\limits_{y\to0}\int\limits_{y}^1\frac{1}{x^2}dx=\lim\limits_{y\to0}\left[-\frac{1}{x}\right]_{y}^1=\lim\limits_{y\to0}\left(-\frac{1}{1}+\frac{1}{y}\right)=\lim\limits_{y\to0}\left(\frac{1}{y}-1\right)\to\text{nicht definiert}$$