Kern, Matrix und Bild einer linearen Abbildung finden

Question

könnte mir jemand vielleicht erklären, wie rechnet man das aus?

$f: \ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2, \ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x - 2z \\ 2z - y \end{pmatrix}$

Gesucht wird der Kern, sowie das Bild und die Matrix, die zu $f$ gehört.

Soll ich erstmal zeigen, dass $f$ linear ist?

Danke voraus!

Answer 1

Die Linearität kannst du ja einfach nach Definition schnell nachrechnen. Für den Kern von $f$ , musst du ja nun all die Vektoren $\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3$ suchen, sodass

$f \left (\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \right)= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$

gilt. Also musst du diese Gleichheit anschauen (etwas extravaganter hingeschrieben...)

$\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&-1&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot x +0\cdot y- 2\cdot z \\ 0\cdot x -1\cdot y+2\cdot z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x - 2z \\ 2z - y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$.

Es bleibt also nur noch ein LGS zu lösen:

$\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-2&0\\0&-1&2&0\end{array}\right)$.

Answer 2

Hallo,

zunächst solltest du die Matrix berechnen, die zu dieser linearen Abbildung gehört. Das macht man in der Regel so, dass man das folgende lineare Gleichungssystem löst

$\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-2z \\2z-y \end{pmatrix}$

Hast du diese Matrix gefunden, kannst du entsprechend deiner Definitionen das Bild und den Kern bestimmen.

Das läuft aller Wahrscheinlichkeit nach auch wieder auf das Lösen von Linearen Gleichungssystem hinaus.