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Hallo Leute,

wir haben ne Probeklausur bekommen ohne Lösungen. Die Aufgabe kann ich irgendwie nicht berechnen.

Die ersten partiellen Ableitungen kann ich zwar lösen, aber mit dem Gleichungssystem kann ich nichts anfangen.

Könnte mir da jemand helfen oder die Lösungsschritte angeben, sodass ich es nachvollziehen kann wie man das LGS knackt.


Vielen Dank für die Hilfe und Mühe :)


Probeklausur Teil 1.PNG

Text erkannt:

1. Gegeben sind die folgenden 2 -mal stetig partiell diff'baren Funktionen:
\( \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{y}+1)^{2}+2(\mathrm{x}-2)^{2} \quad \) mit \( \quad(\mathrm{x} ; \mathrm{y}) \in \mathbb{R}^{2} \)
\( \mathrm{g}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{y}^{3}-\mathrm{x}^{3}+9 \quad \) mit \( (\mathrm{x} ; \mathrm{y}) \in \mathbb{R}^{2} \)
Definiert wird die in der \( x \) -y-Ebene liegende Kurve \( N_{g}, N_{g}:=\left\{(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}: g(x ; y)=0\right\} \).
1.(a) Berechnen Sie mittels Lagrange-Methode einen Extremalstellen-Kandidaten der eingeschränkten Funktion \( \mathrm{f}_{\mid \mathrm{Ng}} . \)

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Hallo,

Die zu optimierende Funktion ist $$f(x,\,y) = (y+1)^2 + 2(x-2)^2$$mit der Nebenbedingung $$y^3-x^3 + 9 = 0$$Lagrange-Funktion aufstellen ... $$L(x,\,y,\,\lambda) = (y+1)^2 + 2(x-2)^2 + \lambda(y^3-x^3 + 9)$$... und nach \(x\) und \(y\) ableiten$$\frac{\partial L}{\partial x} = 4(x-2) - 3\lambda x^2= 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 2(y+1) + 3\lambda y^2= 0$$die erste Gleichung mit \(y^2\) und die zweite mit \(x^2\) multiplizieren und beides addieren$$\begin{aligned} \implies 4(x-2)y^2 + 2(y+1)x^2 &= 0 \\ 2(x-2)y^2 + (y+1)x^2 &= 0 \\ 2xy^2 - 4y^2 + x^2y + x^2 &= 0 \end{aligned} $$gibt zusammen mit der Nebenbedingung zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten \(x\) und \(y\), aber kein(!) LGS (lineares Gleichungssystem).

Das aufzulösen ist müßig! Daher verschaffe man sich mit einem Tool einen Überblick, wie diese Funktionen verlaufen:


und findet eine Lösung bei \((x,\,y) = (2,\,-1)\). Die macht auch Sinn, wenn man bedenkt, dass \(f(x,y)\) ein Paraboloid mit einem Minimum bei \((2,-1)\) ist. Und dieser Punkt erfüllt auch die Nebenbedingung.


Oben sieht man die rote Höhenline von \(f(x,\,y)\) bei \(h=1,4\) und den Verlauf der Nebenbedingung in blau. Klick auf das 'Desmos'-Symbol, dann kannst Du die Höhenlinie verändern. Sie zieht sich bei \(h=0\) in \((2,\,-1)\) zu einem Punkt zusammen.

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Danke für die Antwort. Wie soll ich das jetzt aber machen? Darf ja keine Tools benutzen :D

Darf ja keine Tools benutzen

Ok - das war zu befürchten. Man kann sich das natürlich selber hinzeichnen, aber das ist wie gesagt müßig.

Es lohnt sich aber immer, darüber nachzudenken, was das \(f\) ist. Das allein würde hier zu einer Lösung führen (s.o.). Es ist dazu von Vorteil, einige Kegelschnitte zu kennen.

Eine Alternative wäre die Faktorisierung$$y^3 - x^3 + 9 = 0 \implies (y-x)(y^2+xy+x^2) = -9 \\2xy^2 - 4y^2 + x^2y + x^2 = (x+2y)(xy+x-2y)=0  $$die zweite Gleichung ist aber auch schwierig! Ist man so weit gekommen, kann man die Fälle \(x+2y=0\) und \(xy+x-2y=0\) untersuchen. Das wiederum sollte machbar sein.

Kannst du mir bitte bei meiner aktuellen Frage helfen.

Habe es leider immer noch nicht so richtig verstanden.

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