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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass fuer alle Kubischen Polynome die Simpsonregel exakt ist.

\( \int\limits_{a}^{b} P(x) dx = \frac{b-a}{6}\cdot (P(a) + 4\cdot P(\frac{a+b}{2} ) + P(b))\).

Wir wissen, dass es fuer alle Quadratischen Polynome exakt ist


Problem/Ansatz:

Ich habe gezeigt, dass die Regel fuer das Polynom x^3 exakt ist und wollte dann zeigen, dass jedes Polynom 3. Grades einfach nur aus c*x^3 + P_2(x) besteht mit P_2(x) Polynom 2. Grades.

Wie wir wissen ist fuer P_2(X) die Simpsonregel exakt und fuer das Polynom c*x^3 auch. Damit muss doch das Integral von einem Polynom 3. Grades = Integral von c * x^3 plus das Integral des Polynoms 2. Grades sein und damit 2 mal die Simpsonregel. Damit haette ich dann aber \( \frac{b-a}{3} \) (P(a) + 4*P(\( \frac{a+b}{2} \) ) + P(b)) und somit keinen richtigen Wert.

Wo genau ist da mein Logikfehler?

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Hallo, du kannst doch einfach mal vergleichen, indem du ein beliebiges kubsiches Polynom der Form \(p_3(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\) über \([a,b]\) integrierst, also

$$ \int_a^b p_3(x)\ dx=\left[a_0x+\frac{a_1}{2}x^2+\frac{a_2}{3}x^3+\frac{a_3}{4}x^4\right ]_a^b $$

und die rechte Seite ausrechnest und dann ebenso

\(\frac{b-a}{6}\cdot \left(p_3(a)+4p_3\left(\frac{a+b}{2}\right)+p_3(b)\right)\)

ausrechnest und mit dem obigen vergleichst.

Avatar von 14 k

Hatte ich am Anfang so gemacht aber habe eine elegantere Lösung gesucht.

Ja, da hast du recht. Es wäre zunächst eine ,,Notlösung'', wenn man nicht auf dem Schirm hat, dass quadratische Polynome über Simpson exakt sind. (*)

Aber man muss es dann zumindest noch beim kubischen für den Spezialfall \(\tilde{p_3}(x)=a_3\cdot x^3\) nachrechnen. (**)

Dann kannst du dir ein beliebieges kubisches Polynom hindefinieren mit

\(p_3(x):=\underbrace{a_0+a_1x+a_2x^2}_{=:p_2(x)}+\underbrace{a_3x^3}_{=:\tilde{p_3}(x)}\). Mit dieser Konstruktion hat man dann bereits

\(\int_a^b p_3(x) \ dx = \int_a^b (p_2(x)+\tilde{p_3}(x))\ dx\\=\int_a^b p_2(x) \ dx + \int_a^b \tilde{p_3}(x) \ dx\\\stackrel{(*),(**)}{=}\Bigg(\frac{b-a}{6}\cdot \Big(p_2(a) + 4\cdot p_2(\frac{a+b}{2} ) + p_2(b)\Big)\Bigg)\\+\Bigg(\frac{b-a}{6}\cdot \Big(\tilde{p_3}(a)+4\cdot \tilde{p_3}\left(\frac{a+b}{2}\right)+\tilde{p_3}(b)\Big)\Bigg)\\=\frac{b-a}{6}\Bigg(p_3(a)+4\cdot p_3\left(\frac{a+b}{2}\right)+p_3(b)\Bigg)\).

Ah ja ich verstehe jetzt wo mein Denkfehler war. Vielen dank.

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