Aloha :)
Wenn du eine Basis angegen hast, müssen sich ihre Koordinaten auf eine vorher festgelegte Basis beziehen. Wenn nichts dazu gesagt wird, ist das automatisch die Einheitsbasis \(E\). Deine neue Basis hat nun die Vektoren \(\binom{1}{3}_E\) und \(\binom{2}{4}_E\). Der Index \(E\) soll andeuten, dass die Komponenten bezüglich der Einheitsbasis angegeben sind. Du weißt also, wie du die Basisvektoren von \(S\) in die Basis \(E\) umrechnest:$$\binom{1}{0}_S\to\binom{1}{3}_E\quad;\quad\binom{0}{1}_S\to\binom{2}{4}_E$$Das kann man mit Hilfe einer Matrix \(\mathbf{id}_{E,S}\) schreiben:$$\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}}_{=\mathbf{id}_{E,S}}\cdot\binom{1}{0}=\binom{1}{3}\quad;\quad\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}}_{=\mathbf{id}_{E,S}}\cdot\binom{0}{1}=\binom{2}{4}$$Diese sogenannte Basiswechsel-Matrix \(\mathbf{id}_{E,S}\) transformiert die neuen Basis \(S\) in die Einheitsbasis \(E\).
Solche Basiswechsel-Matrizen in die Einheitsmatrix hinein kann man sofort hinschreiben, indem man einfach die neuen Basisvektoren als Spalten in eine Matrix schreibt. In die umgekehrte Richtung geht es dann mit der inversen Matrix:$$\mathbf{id}_{S,E}=\left(\mathbf{id}_{E,S}\right)^{-1}$$
Wenn du also zwei Basen gegeben hast, z.B. \(B\) und \(S\), dann kannst du die Basiswechsel-Matrix von \(S\) nach \(B\) bestimmen, indem du den Umweg über die EInheitsbasis \(E\) nimmst:$$\mathbf{id}_{B,S}=\mathbf{id}_{B,E}\cdot\mathbf{id}_{E,S}=\left(\mathbf{id}_{E,B}\right)^{-1}\cdot\mathbf{id}_{E,S}$$Du musst also eine Matrix mit "dem Gauß" rechnen, um sie zu invertieren.
