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Aufgabe:

Das Potential soll berechnet werden. Dafür habe ich zunächst v(x) integriert. Danach mittels Vergleich beider Seiten >C(y) bestimmt.

Bei meiner Rechnung am Ende bekomme ich leider ein falsches Vorzeichen :

\( \vec{v}(x, y)=\left(\begin{array}{c}8 x-4 \sin (4 x) y \\ \cos (4 x)\end{array}\right) \)

1) \( V(x, y)=\int 8 x-4 \sin (4 x) y d x=\frac{8}{2} x^{2}-y \cos (4 x)+C(y) \)
2) \( \frac{\partial v}{\partial y}=\cos (4 x)+C (y) \frac{\partial}{\partial y} \stackrel{!}{=} \cos (4 x) \)
\( \Leftrightarrow C(y)=0 \)
\( V(x, y)=4 x^{2}-y(\cos (4 x) \)


Unten müsste eigentlich ein + stehen laut der Musterlösung

Erkennt jemand eventuell meinen Fehler ?

Ich danke euch.

von

2 Antworten

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Aloha :)

Ich würde dir gerne noch eine andere Methode vorstellen, um Potentiale zu berechnen. Diese ist gerade bei komplexen Feldern oft einfacher...

Wenn es ein Potential gibt, ist das Wegintegral zwischen 2 Punkten unabhängig vom gewählten Weg. Daher kannst du das Potential wie folgt bestimmen:$$V(x_0,y_0)=\int\limits_{(0|0)}^{(x_0|y_0)}\binom{8x-4\sin(4x)y}{\cos(4x)}\binom{dx}{dy}$$Als Weg gehen wir entlang der Koordinatenachsen:

$$V(x_0,y_0)=\int\limits_{(0|0)}^{(x_0|0)}\binom{8x-4\sin(4x)y}{\cos(4x)}\binom{dx}{dy}+\int\limits_{(x_0|0)}^{(x_0|y_0)}\binom{8x-4\sin(4x)y}{\cos(4x)}\binom{dx}{dy}$$

Das sieht zuerst so aus, als hätten wir nichts gewonnen. Aber im ersten Integral ist auf dem Wegstück \(y=0\) fest und ändert sich nicht \(dy=0\). Beim zweiten Integral ist auf dem Wegstück \(x=x_0\) fest und ändert sich nicht \(dx=0\). Das heißt:

$$V(x_0,y_0)=\int\limits_{(0|0)}^{(x_0|0)}\binom{8x-4\sin(4x)\cdot 0}{\cos(4x)}\binom{dx}{0}+\int\limits_{(x_0|0)}^{(x_0|y_0)}\binom{8x_0-4\sin(4x_0)y}{\cos(4x_0)}\binom{0}{dy}$$$$\phantom{V(x_0,y_0)}=\int\limits_0^{x_0}8x\,dx+\int\limits_0^{y_0}\cos(4x_0)\,dy=4x_0^2+y_0\cos(4x_0)$$

von 128 k 🚀
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Hallo,

Du hast Dich zweimal vertan: Stammfunktion für den sin ist -cos. Dann hast Du in der 2. Zeile das - vergessen und im Endergebnis wieder gesetzt. Also jedenfalls: Stammfunktion fpr sin ist -cos.

Außerdem sollte es heißen:

$$\frac{\partial}{\partial y}C(y)=0 \Rightarrow C(y)=const$$

Ein Potential ist immer nur bis auf eine Konstante bestimmt. Oft gibt man dann nur ein Potential an, also zum Beispiel mit const =0.

Gruß

von 10 k

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