Funktionsuntersuchung bei realen Prozessen. Künstlicher See im Modell von f(x)=1/10(-x^3+9x^2-15x+56) begrenzt.

Question

In einem Vergnügungspark wurde ein künstlicher See angelegt. Im Modell wird er begrenzt von der Koordinatenachsen und dem Graphen der Funktion f(x)=1/10(-x^3+9x^2-15x+56). Die Längeneinheit ist 100 Meter.
a) Längs der x-Achse verläuft am Ufer die Promenade. Wie lang ist sie?
b) An welchen Stellen der Promenade ist die vertikale Entfernung zum gegenüberliegenden Seeufer am größten bzw. am kleinsten? Geben Sie die maximale und die minimale Entfernung an.
c) Ein Weg verläuft längs des Graphen der Funktion g(x)=-1,5x+18. Ein Anlegeplatz für Tretboote soll an der Uferstelle gebaut werden, an der die Entfernung zu diesem Weg am kleinsten ist. Berechnen Sie, wo dieser Anlegeplatz gebaut werden muss.

Answer 1

f(x) = - 0.1·x^3 + 0.9·x^2 - 1.5·x + 5.6
f'(x) = - 0.3·x^2 + 1.8·x - 1.5

a) Längs der x-Achse verläuft am Ufer die Promenade. Wie lang ist sie?

Nullstelle f(x) = 0 ausrechnen. Schaffst du das alleine?
Lösung: x = 8

b) An welchen Stellen der Promenade ist die vertikale Entfernung zum gegenüberliegenden Seeufer am größten bzw. am kleinsten? Geben Sie die maximale und die minimale Entfernung an.

Extrempunkte f'(x) = 0 ausrechnen
Lösung: x = 5 ∨ x = 1

f(1) = 4.9
f(5) = 8.1

c) Ein Weg verläuft längs des Graphen der Funktion g(x) = -1,5x + 18. Ein Anlegeplatz für Tretboote soll an der Uferstelle gebaut werden, an der die Entfernung zu diesem Weg am kleinsten ist. Berechnen Sie, wo dieser Anlegeplatz gebaut werden muss.

Die Steigung der Funktion muss an der Stelle ebenfalls -1.5 sein

f'(x) = -1.5
Lösung: x = 6

f(6) = 7.4

Comments

Wie kommst du bei c) auf die Lösung ???
Also wie kommst du auf...
 x = 6
und 

f(6) = 7.4


Das die Steigung -1.5 sein muss ist logisch, aber wie kommst du dann auf 6??

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f'(x) = -1.5 

- 0.3·x² + 1.8·x - 1.5 = - 1.5

Das ist eine quadratische Gleichung. weißt du wie man quadratische Gleichungen löst?

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ahhh okay verstehe!!! Hab mich die ganze Zeit daran aufgehangen das mit y=-1.5x+n gleichzusetzen aber man brauch ja Nur die Steigung - ich stand auf dem Schlau :D
DAnke!!

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Eine Frage: zu c)

Wenn cih die gleichsetze erhalte ich die x Werte 6 und 0

Also sind doch zwei Lösungen möglich oder???

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Warum kann bei 0 wohl keine Lösung sein. Schau doch einfach mal den Graphen an und zeichne dann die Anlegestellen bei x = 0 und x = 6 ein.

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Ich komme bei c einfach nicht auf die Lösung...das mit der Steigung ist klar aber wie kommst du da auf 6?

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f'(x) = -1.5 

- 0.3·x² + 1.8·x - 1.5 = -1.5

Das ist doch eine quadratische Gleichung die du einfach lösen müsstest. Was für Lösungsverfahren kennst du da? Wende mal eines an und schreib es hier rein. Dann können wir sicher helfen.