y = mx halbiert die Fläche die ein Graph f einschließt

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie m so, dass die Gerade mit der Gleichung y =  mx den Flächeninhalt, den die Parabel mit der x Achse einschließt halbiert:

Also, man hat einmal die Funktion: y = -(x-2)² +4 und die Funktion y = mx. Der Flächeninhalt unter der Parabel soll durch die Gerade halbiert werden.

Problem/Ansatz:

Also die Schnittstelle ist 4-m und der Flächeninhalt der Parabel bis zur Nullstelle x = 4 ist : - 32/2

Jetzt ist es ja nur logisch den Flächeninhalt in der Parabel, die es mit der x Achse einschließt einfach bis zur Schnittstelle mit (f(x) - g(x)) dx und danach mit (g(x)-f(x))dx zu berechnen (f(x) = -(x-2)² +4  und g(x) = mx)  und anschließend mit 16/3 gleichsetzen, aber ich habe jetzt schon 5 Versuche unternommen und egal wie ich es mache, es kommt am Ende immer eine Gleichung mit x^3 + ...x^2 + ....x + .... raus, die ich auch mit binomischen Formeln nicht schaffe zu lösen.

Bitte um Hilfe

Answer 1

Hallo,

bestimme zunächst die Schnittstellen in Abhängigkeit von \(m\). Es gilt:$$mx=-(x-2)^2+4 \Rightarrow \boxed{x=0} \, \vee \, \boxed{x=4-m}$$ Weiter stellt man fest, dass die gesamte Fläche \(\int_{0}^{4}-\left(x-2\right)^{2}+4\, \mathrm{d}x=\frac{32}{3}\) ist. Damit erhältst du folgende Bedingungsgleichung:$$\int \limits_{0}^{4-m}[-(x-2)^2+4-mx]\, \mathrm{d}x=-\frac{1}{6}(m-4)^3\overset{!}=\frac{16}{3} \Rightarrow \boxed{m=4-2\cdot 2^{2/3}}$$ Zur Lösung der Gleichung: Nicht ausmultiplizieren!$$-\frac{1}{6}(m-4)^3=\frac{16}{3} \\ (m-4)^3=-32 \\ m-4=-2\cdot 2^{3/2} \\ m=4-2\cdot 2^{3/2}$$

Comments

Das hatte ich auch alles so, bis auf die Berechnung des Interals, können Sie mir vielleicht die Rechnung aufschreiben, wie man auf -1/6 (m-4)^3 kommt, hier verzweifle ich regelrecht

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Hast du bereits meinen Zusatz gelesen? Dort löse ich die Gleichung. Lass dich nicht einschüchtern von der negativen Zahl. Auch, wenn \(\sqrt[3]{-32}\) undefiniert ist (vgl. hier) ist das Ergebnis "theoretisch" identisch damit, die Kubikwurzel aus \(32\) zu ziehen und dieses Ergebnis anschließend mit einem Minuszeichen zu versehen.