Aloha :)
$$F(x)=\int(\underbrace{-3}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln^2x}_{=v})dx=\underbrace{(-3x)}_{=u}\cdot\underbrace{\ln^2x}_{=v}-\int\underbrace{(-3x)}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{2\,\ln x}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{\frac{1}{x}}^{=\text{innere}}}_{=v'}\,dx$$$$\phantom{F(x)}=-3x\ln^2x+\int\underbrace{6}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln x}_{=v}\,dx=-3x\ln^2x+\left(\underbrace{6x}_{=u}\cdot\underbrace{\ln x}_{=v}-\int\underbrace{6x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{1}{x}}_{=v'}\,dx\right)$$$$\phantom{F(x)}=-3x\ln^2x+6x\ln x-\int6dx=-3x\ln^2x+6x\ln x-6x+\text{const}$$$$\phantom{F(x)}=-3x\left(\ln^2x-2\ln x+2\right)+\text{const}$$
Das Ergebnis könntest du mit \((\ln^2x-2\ln x+1)=(1-\ln x)^2\) noch etwas vereinfachen:$$F(x)=-3x(\,1+(1-\ln x)^2\,)+\text{const}$$
