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Aufgabe:

Bei einem  Rechteck ABCD mit den Seitenlängen 15cm (AD) und 7cm (CD) wird auf jeder Seite die Strecke x abgetragen. Es entsteht ein Viereck EFGH.

a) Für welche Länge x ist der Flächeninhalt des Vierecks am kleinsten?

Tipp: Überlege, welche Flächen von der Fläche des Rechtecks abgezogen werden müssen, um auf das Viereck EFGH zu kommen.

Man muss das ganze als quadratische Funktion mit Haupt und Nebenbedinung angeben.


Problem/Ansatz:

Könnte mir bitte jemand mit Rechenweg helfen?

LG

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2 Antworten

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Hallo

du hast doch sicher eine Zeichnung, oder die Gemacht. Dann siehst du um das Viereck rum 4 rechtwinklige Dreiecke, die Seitenlängen sind dabei 15-x, 7-x und x,  jenachdem wo E,F,G liegen. schreib das dran. jetzt rechne die Fläche der 4 aus, jeweils die 2 Seiten mit dem rechten Winkel dazwischen multiplizieren und durch 2 Teilen. dannsubtrahierst du von 15*7. das ist die  gesuchte  Fläche von der suchst du das Minimum, durch differenzieren, oder durch die Scheitelform der Parabel.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Ich verstehe es leider nicht

Hast du die Zeichnung? hast du x an die Strecken geschrieben? siehst du die Strecken 15-x und 7-x

siehst du 4 Dreiecke? kannst du ihre Seiten hinschreiben?

sonst schick mal deine Zeichnung und wir reden weiter.

Gruß lul

Darf man die Zeichnung schicken?

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Stell dir vor x wäre 3cm.

Dann wird die 15cm lange Strecke in 3cm und 15-3=12cm aufgeteilt. Bei der 7cm langen Seite wären es 3cm und 7-3=4cm.

Es entstehen vier rechtwinklige Dreiecke, die vom Rechteck weggenommen werden.

Die Dreiecke haben die Katheten

12 und 3

4 und 3

12 und 3

4 und 3

Je zwei Dreiecke sehen gleich aus, können also zu einem Rechteck zusammen gesetzt werden.

Die Flächeninhalte sind 12*3 und 4*3. Sie werden vom großen Rechteck abgezogen.

A=15*7-12*3-4*3

Jetzt müssen wir das ganze noch mit x schreiben. Dazu ersetze die 3 durch x. Außerdem 12=15-3 durch 15-x und 4=7-3 durch 7-x.

A(x)=15*7-(15-x)*x-(7-x)*x

0<x<7 ist die Nebenbedingung.

Ausmultiplizieren

A(x)=15*7-15x+x^2-7x+x^2

A(x)=2x^2-22x+105

Ableiten

A'(x)=4x-22

A''(x)=4>0

Minimum bestimmen

4x-22=0

x=5,5

Fertig.

:-)

Avatar von 47 k

Vielen dank!

Wie kann ich das denn jetzt ausmultiplizieren?

Ich habe es ergänzt.

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