0 Daumen
5,4k Aufrufe
Ein Band von 20m Länge soll zu einem Rechteck gelegt werden. Für welche Länge x ist der Flächeninhalt des Rechtecks am größten?

 

Ich hoffe ihr könnt mir helfen:)
von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Die beiden Seiten messen 

x in cm und (20 - 2x)/2 = 10 - x in cm

Die Fläche ist

y = x*(10-x)

Der Graph davon ist eine nach unten geöffnete quadratische Funktion mit den Nullstellen x1 = 0 und x2 = 10.

Der Maximalwert ist der y-Wert des Scheitelpunkts er befindet sich aus Symmetriegründen genau in der Mitte, also bei x= 5 cm

Resultat: Es kommt ein Quadrat raus. (spezielles Rechteck)

von 161 k 🚀
+1 Daumen
Das ist eine typische Extremwertaufgabe.

Auch wenn man weiß das es ein Quadrat sein muss hier mal der Weg.

1. Aufstellen der Hauptbedingung. Wir stellen einen Term für den Ausdruck auf der extremal werden soll. Hier soll der Flächeninhalt maximal werden daher stelle ich den Term für die Fläche auf.

Hauptbedingung:
A(x, y) = x * y

Ungünstiger Weise habe ich jetzt eine Funktion in Abhängigkeit von 2 unbekannten. Daher muss ich durch eine Nebenbedingung eine Unbekannte durch die andere ersetzen. Die Nebenbedingung ist hier das der Umfang 20 m sein soll.

Nebenbedingung:
U = 2x + 2y = 20
2y = 20 - 2x
y = 10 - x

Das benutzen wir jetzt um unsere Hauptbedingung zu vereinfachen.

A(x, y) = x * y
A(x) = x * (10 - x) = 10x - x^2

Unsere Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel die im Scheitelpunkt ihr Maximum annimmt. Der Scheitelpunkt befindet sich zwischen den Nullstellen, die wir aus A(x) = x * (10 - x) direkt ablesen können. Die Nullstellen sind bei 0 und 10 und somit liegt der Scheitelpunkt bei x = 5.

Das setzen wir in die Nebenbedingung ein:
y = 10 - x = 10 - 5 = 5

Damit sind x und y = 5 und die Fläche hat die Form eines Quadrates.

Ich hoffe ich konnte helfen.
von 379 k 🚀
du hast mir echt geholfen, doch es soll ja eine form eines rechtecks haben??
Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck nur eben ein ganz besonderes.

Damit hast du also ein Rechteck bei dem alle Seiten gleich lang sind.

Das Quadrat hat von allen Rechtecken bei gegebenen Umfang den Größten Flächeninhalt.
willst du nicht die Arbeit für mich morgen schreiben ;)
Dürft ihr etwa kein http://www.mathelounge.de in der Klausur benutzen?

:-)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community