Uneigentliches Integral, Konvergenz: ∫ dx / ( x √(x+1) )

Question

ich soll das Integral in den Grenzen 1 bis oo berechnen und schauen, ob es konvergent ist.

∫ dx / ( x √(x+1) )

ich habe leider keine Ahnung, wie ich dieses Integral erstmal ausrechne um dann anschließen die Grenzen einzusetzen.

∫ (x √(x+1))^-1/2 dx .... wie gehts nun weiter?

Answer 1

so jetzt eine nette Substitution und zwar $p=x+1$. Dann ist $dp=dx$. Nun wieder eine Null ergaenzen und dann 3. Binomische Formel im Nenner:

 

Jetzt bleibt uns nur noch $1/(\sqrt{p}+1)$ zu integrieren:
Wieder Substitution $p=y^2$, dann ist $dp=2ydy$ :

 

So jetzt haben wir alle Integrale ausgerechnet Nun noch ruecksubstituieren (zwei mal) und wir erhalten die Stammfunktion

So nun die Grenzen einsetzen und man bekommt

Ende.

Answer 2

f(x) = 1/(x·√(x + 1))

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+1%2F%28x·√%28x+%2B+1%29%29

F(x) = 2·LN(√(x + 1) - 1) - LN(x)

∫ (1 bis ∞) f(x) dx

lim (x→∞) F(x) - F(1)

lim (x→∞) 2·LN((√2 + 1)·(√(x + 1) - 1)) - LN(x)

Das ganze wär erstmal denke ich unter einem LN zusammenzufassen

lim (x→∞) LN(((√2 + 1)·(√(x + 1) - 1))^2/x)

lim (x→∞) LN(- 2·√(x + 1)·(2·√2 + 3)/x + 2·(2·√2 + 3)/x + 2·√2 + 3) = LN(2·√2 + 3) = 1.762747174

Das ist schon ein Stück Arbeit. Versuche daher mal Schritt für Schritt meine Vorgehensweise nachzuvollziehen.

Comments

Wie kommst du auf F(x) , also die Stammfunktion? 

 

Mit (1/x) * (1/√(x + 1)) und dann partielle Integration? 

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Deswegen hatte ich dir den Link zu Wolframalpha gegeben. Du kannst es z.B. über Substitution machen.