Berechne das Integral: \int\limits_{-pi}^{\pi} sin(x) * x4

Question

Aufgabe:

Berechne das Integral: \( \int\limits_{-pi}^{\pi} \) sin(x) * x⁴

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits mehrfach partiell Integriert aber am Ende komme ich auf einen Wert von +500 und das kann ja nicht stimmen. Ich habe das Integral online durch einen Rechner durchgejagt und das Ergebnis sollte 0 sein. Was auch verständlich ist, da das Integral von -pi zu +pi von Sinus 0 sein sollte. Ich würde es mir aber gerne herleiten können, schaffe es aber nicht. Hätte eventuell jemand eine Idee? Und könnte mir es eventuell aufschreiben?

Ich wäre um jede Hilfe sehr dankbar. Versuche mich schon seit über 2 Stunden daran und komme einfach nicht weiter.

Im Voraus schon einmal vielen vielen Dank!

Answer 1

Aloha :)

$$I=\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(x)\cdot x^4\,dx=\int\limits_{-\pi}^0\sin(x)\cdot x^4\,dx+\int\limits_{0}^\pi\sin(x)\cdot x^4\,dx$$

Im ersten Integral substituieren wir \(u\coloneqq-x\), dann ist \(x=-u\) und es gilt$$\frac{du}{dx}=-1\implies dx=-du\quad;\quad u(-\pi)=\pi\quad;\quad u(0)=0$$und das Integral wird zu:

$$I=\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(x)\cdot x^4\,dx=-\int\limits_{\pi}^0\sin(-u)\cdot (-u)^4\,du+\int\limits_{0}^\pi\sin(x)\cdot x^4\,dx$$Wegen \((-u)^4=u^4\) und \(\sin(-u)=-\sin u\) wird dies zu:

$$I=\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(x)\cdot x^4\,dx=\int\limits_{\pi}^0\sin(u)\cdot u^4\,du+\int\limits_{0}^\pi\sin(x)\cdot x^4\,dx$$Wenn man bei einem Integral die Grenzen vertauscht, ändert sich sein Vorzeichen:

$$I=\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(x)\cdot x^4\,dx=-\int\limits_{0}^\pi\sin(u)\cdot u^4\,du+\int\limits_{0}^\pi\sin(x)\cdot x^4\,dx=0$$

Comments

Vielen vielen Dank! Das hilft mir sehr. So kann ich das besser nachvollziehen.

Answer 2

Da der Integrand offenbar punktsymmetrisch zum Ursprung ist, muss der Wert des gesuchten Integrals gleich Null sein. Es ist hier nicht notwendig, eine Stammfunktion zu ermitteln. Die Fläche oberhalb der x-Achse entspricht der Fläche unterhalb der x-Achse. Die Flächenbilanz ist Null.

Comments

Wäre es daher einfach unnötig das Integral auszurechnen? Wenn ich es versuche, komme ich nie auf das Ergebnis 0. :-/

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In der Tat ist es nicht notwendig, das Integral auszurechnen, also eine Stammfunktion zu ermitteln.
Für alle zum Ursprung punktsymmetrische, integrierbare Funktionen \(f\) und alle \(a\in\mathbb R\) gilt die Beziehung$$\qquad\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm dx=0.$$Das lässt sich auch allgemein so zeigen. Die Berechnung des Integrals mithilfe einer Stammfunktion sollte eigentlich zum gleichen Ergebnis führen. Wenn du nicht Null erhältst, wirst du dich vermutlich irgendwo verrechnet haben.