Wahrscheinlichkeit dafür, dass am betrachteten Tag mehr als 210 Jahreskartenbesitzer das …?

Question

Für ein Schwimmbad besitzen 2000 Personen eine Jahreskarte. Für einen bestimmten Tag beschreibt die zufallsgröße X die Anzahl der Jahreskartenbesitzer, die das Schwimmbad besuchen. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden dass X binominalverteilt ist. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Jahreskarten Besitzer an diesem Tag das Schwimmbad besucht 10%.

b) berechnen sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass am betrachteten Tag mehr als 210 Jahreskartenbesitzer das Schwimmbad besuchen. Das wäre ja P(X= 210) aber wie lautet nun der Rechenweg ?

c) bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert X höchstens um eine halbe standdartabweichung vom erwartungswert der zufallsgröße abweicht ?

d) bestimmen sie die größte natürliche Zahl K , für die die Wahrscheinlichkeit dafür , am betrachten tag weniger als k jahreskartenbesitzer das Schwimmbad besuchen, kleiner als 10% ist ?

Die Lösungen habe ich , aber ich würde gerne wissen wie man darauf gekommen ist. Danke schon mal !

Answer 1

Vereinfachend soll davon ausgegangen werden dass X binominalverteilt ist.

Mit \(n = 2000\) und \(p = 0{,}1\)

Wahrscheinlichkeit dafür, dass am betrachteten Tag mehr als 210 Jahreskartenbesitzer das Schwimmbad besuchen.

Das ist \(P(X > 210)\). Das berechnet man mit dem Taschenrechner über die kumulierte Binomialverteilung.

Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert X höchstens um eine halbe standdartabweichung vom erwartungswert der zufallsgröße abweicht ?

Erwartungswert ausrechnen: \(\mu = n\cdot p\).

Standardabweichung ausrechnen: \(\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\).

Untere Grenze berechnen: \(k_1 = \mu - \frac{1}{2}\sigma\).

Obere Grenze berechnen: \(k_2 = \mu + \frac{1}{2}\sigma\).

Intervallwahrscheinlichkeit \(P(k_1\leq X \leq k_2)\) ausrechnen.

Wahrscheinlichkeit dafür , am betrachten tag weniger als k jahreskartenbesitzer das Schwimmbad besuchen, kleiner als 10% ist

Laut Sigmaregeln ist \(\mu-2\sigma < k < \mu-\sigma\). Es gibt ungefähr \(\sigma\) viele Möglichkeiten für \(k\). Probiere so lange bis du den richtigen gefunden hast.

Answer 2

b) P(X>210) = 1-P(X<=210)

d) (2000überk)*0,1^k*0,9^(2000-k)<0,1

Diesen Wert findet man nur durch Probieren

k= 169

:http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm