vollständige Induktion einer rekursiven Folge

Question

Aufgabe:

Sei die Folge (a_n) n∈N₀
rekursiv definiert durch
a₀ = 0, a₁ = 1, a_n :=1/2 *(a_n−1 + a_n−2), n ≥ 2.

Beweisen Sie induktiv, dass
a_n+1 − a_n = (−1)ⁿ *2^-n , n ∈ N₀  gilt (Induktionsschluss: ”k → n + 1”für ¨ k = 0, 1, ..., n).

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand beim Lösen dieser Aufgabe helfen, ich habe Probleme einen geeigneten Ansatz zu finden, aufgrund der Rekursivität.

Vielen Dank

Comments

Skizze:

Induktionsanfang:

$$ a_1-a_0 \stackrel{?}{=} 1 =(-1)^0\cdot 2^{-0} $$

Induktionsvoraussetzung:

$$ a_{n+1} - a_n = (-1)^n \cdot 2^{-n}$$

Induktionsbehauptung:

$$ a_{(n+1)+1} - a_{n+1} = (-1)^{n+1} \cdot 2^{-(n+1)}$$

Induktionsschritt:

$$ a_{(n+1)+1} - a_{n+1} = -(a_{n+1} - a_{n+2})=-\left(a_{n+1} -\frac{1}{2}(a_n - a_{n-1})\right) = \dotsm$$

Vervollständige selbst.

Answer 1

Ich habe es mal so versucht: