Vollständige Induktion bei einer rekursiven Folge mit a_(1) = 0 , a_(n+1) = (a_(n) /3) −1 für n ≥ 1

Question

Hi, ich habe eine Frage zur rekursiven Folge {a_n}_n∈N mit a₁ = 0 , a_n+1 = (a_n /3) −1  für n ≥ 1 . Kann mir jemand zeigen, warum a_n ≥−9 und a_n+1 −a_n ≤ 0 für alle n ∈ N gilt?

Comments

{a_n}_n∈N mit a₁ = 0 , a_n+1 = (a_n /3) −1  für  n ≥ 1 ##### Es soll wohl  n > 1 heißen?

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Auf dem Aufgabenblatt steht da tatsächlich n>=1. Könnte aber auch durchaus falsch aufgeschrieben worden sein.

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Ach Nick hat natürlich recht. 

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Wieso? Wo ist das Problem mit dieser Notation?

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Gast: Ich rechne mal ein paar Elemente der Folge aus

mit a₁ = 0 , a_n+1 = (a_n /3) −1  für n ≥ 1 

a2 = 0-1=  -1

a3 = -1/3 - 1 = -4/3

a4 = -4/9 - 1 = -13/9 

a5 = -13/27 - 1 = -40/27 

a6 = -40/81 - 1= -121/81 

Bitte nachrechnen. Vielleicht findest du ja eine explizite Formel für deine Folge. 

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eine explizite Formel
Wofür soll die gut sein?

Vielleicht findest du ja
Um einen Induktionsbeweis kommt man nicht herum

Answer 1

Vielleicht so:

Zu zeigen: an ≥ - 9

IA:

a1 ≥ - 9

0 ≥ - 9 --> stimmt

IS:

an+1 ≥ - 9

(an / 3) - 1 ≥ - 9

an / 3 ≥ - 8

an ≥ - 24

Zu zeigen: an+1 - an ≤ 0

IA:

a2 - a1 ≤ 0

-1 - 0 ≤ 0 --> stimmt

IS:

an+2 - an+1 ≤ 0

((an+1 / 3) - 1) - ((an / 3) - 1) ≤ 0

(an+1 / 3) - (an / 3) ≤ 0

an+1 - an ≤ 0 --> stimmt