Die additive Gruppe eines Rings ist ja nach Definition immer abelsch und somit auf natürliche Weise eine Z-Algebra, denn für einen Ring R haben wir für x∈R und n∈Z die natürliche "Skalarmultiplikation"
n⋅x : =⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x+...+x0R−((−n)⋅x)falls n>0 (Summe hat n Summanden)falls n=0falls n<0
Zuerst einmal sollten wir zwei ganz allgemeine Aussagen besprechen:
Sind R, S Ringe und ist φ : R→S ein Ringisomorphismus, sowie f=∑i=0kfi⋅ti∈Z[t] ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, dann gilt für alle x∈R:
f(x)=0R⟺f(φ(x))=0S
Der Beweis ist nicht schwer:
Es ist ganz allgemein f(φ(x))=i=0∑kfiφ(x)i=i=0∑kfiφ(xi)=φ(i=0∑kfi⋅xi)=φ(f(x))
(Ein Isomorphismus vertauscht mit Summen, Produkten und Invertierung im Ring, also vertauscht er insb. auch mit Skalarmultiplikation mit Elementen aus Z, das ist ja im Prinzip nur Summation im Ring)
=> Falls f(x)=0R ist also f(φ(x))=φ(f(x))=φ(0R)=0S
<= Falls f(φ(x))=0S, dann ist auch φ(f(x))=0S und da φ ein Isomorphismus ist sind Urbilder eindeutig bestimmt, wegen φ(0R)=0S muss also schon f(x)=0R sein.
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Zweite Aussage:
Sind R1,...,Rn Ringe und f=∑i=0kfi⋅ti∈Z[t] ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten dann gilt für alle (x1,...,xn)∈R1×⋯×Rn (Produktring):
f((x1,...,xn))=(0R1,...,0Rn)⟺∀i∈{1,...,n} : f(xi)=0Ri
Beweis:
Auch hier gilt ganz allgemein:
f((x1,...,xn))=i=0∑kfi⋅(x1,...,xn)i=i=0∑kfi⋅(x1i,...,xni)=(i=0∑kfi⋅x1i,...,i=0∑kfi⋅xni)=(f(x1),...,f(xn))
Rest ist klar.
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Wenn wir jetzt für m=p1e1⋅...⋅pnen und ein Polynom f∈Z[t] die Kongruenz
f(x)≡0mod(m) lösen möchten, können wir das natürlich mit dem chinesischen Restsatz machen, indem wir erst einmal die Kongruenzen:
f(x)≡0mod(piei)∀i=1,...,n
separat lösen. Wenn wir für jede dieser Gleichungen eine Lösung yi finden, können wir daraus mit dem Isomorphismus aus dem chinesischen Restsatz eine Lösung für unsere ursprüngliche Kongruenz lösen. Wir haben ja den Isomorphismus:
φ : Z/mZ→Z/p1e1Z×⋯×Z/pnenZ
Wir wissen außerdem, dass f(yi)≡0mod(piei), also nach der zweiten Aussage oben auch f((y1,...,yn))=(0,...,0). Da wir einen Isomorphismus haben, gibt es ein Urbild: x : =φ−1((y1,...,yn)). Und nach der ersten Aussage oben ist:
f(x)=0⟺f(φ−1((y1,...,yn)))=0⟺f(φ(φ−1((y1,...,yn))))=f((y1,...,yn))=(0,...,0)
Und da die rechte Aussage erfüllt ist, ist dann auch die linke Seite erfüllt.
Ein Beispiel zur Anwendung auf quadratische Polynome folgt gleich in einem Kommentar.