Näherungspolynom maximale Abweichung

Question

Aufgabe:

(i) Berechnen Sie ein zweigliedriges Näherungspolynom in $x$ für den Ausdruck $f(x) = \frac{1}{100+x^2}$

mithilfe einer Reihenentwicklung.

(ii) Bestimmen Sie das Intervall der $x$-Werte für die in (i) gefundene Näherung betragsmäßig um höchstens 0,01% von dem exakten durch $f(x)$ gegebenen Wert abweicht.

Problem/Ansatz:

(i) $T_2f(x;0)= \frac{1}{100} -\frac{1}{10000}x^2$

(ii) Ich weiß die Frage wurde schonmal gestellt, aber könnte mir bitte jemand den Rechenweg geben oder detailliert erklären wie man es mit der Restgliedabschätzung von Lagrange macht.

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\frac{1}{100+x^2}=\left(100+x^2\right)^{-1}$$$$f'(x)=-(100+x^2)^{-2}\cdot2x=-\frac{2x}{(100+x^2)^2}$$$$f''(x)=2(100+x^2)^{-3}\cdot2x\cdot2x-(100+x^2)^{-2}\cdot2=\frac{8x^2-2(100+x^2)}{(100+x^2)^3}=\frac{6x^2-200}{(100+x^2)^3}$$

Das Näherungspolynom bis zur 2-ten Ordnung lautet daher:$$f_2(x)\approx f(0)+f'(0)\,x+\frac{1}{2}f''(0)\,x^2=\frac{1}{100}+0+\frac{1}{2}\cdot\frac{-200}{100^3}\,x^2=\frac{1}{100}\left(1-\frac{x^2}{100}\right)$$

Die betragsmäßige Abweichung der Näherung $f_2(x)$ vom exakten Wert $f(x)$ soll höchstens $0,01\%$ betragen. Formal heißt das:

$$\left.\left|f(x)-f_2(x)\right|\le0,01\%\quad\right|\text{einsetzen}$$$$\left.\left|\frac{1}{100+x^2}-\frac{1}{100}\left(1-\frac{x^2}{100}\right)\right|\le0,01\%\quad\right|\cdot100$$$$\left.\left|\frac{100}{100+x^2}-\left(1-\frac{x^2}{100}\right)\right|\le1\%\quad\right|\text{links umformen}$$$$\left.\left|\frac{100+x^2-x^2}{100+x^2}-1+\frac{x^2}{100}\right|\le1\%\quad\right|\text{links weiter umformen}$$$$\left.\left|1-\frac{x^2}{100+x^2}-1+\frac{x^2}{100}\right|\le1\%\quad\right|\text{links noch weiter umformen}$$$$\left.\left|-\frac{x^2}{100+x^2}+\frac{x^2}{100}\right|\le1\%\quad\right|\cdot100$$$$\left.\left|-\frac{100x^2}{100+x^2}+x^2\right|\le1\quad\right|\text{links auf Hauptnenner bringen}$$$$\left.\left|\frac{-100x^2+100x^2+x^4}{100+x^2}\right|\le1\quad\right|\text{Zähler ausrechnen}$$$$\left.\left|\frac{x^4}{100+x^2}\right|\le1\quad\right|\text{Argument des Betrags immer \(\ge0\)}$$$$\left.\frac{x^4}{100+x^2}\le1\quad\right|\cdot(100+x^2)$$$$\left.x^4\le100+x^2\quad\right|-x^2$$$$\left.x^4-x^2\le100\quad\right|+\frac{1}{4}$$$$\left.x^4-x^2+\frac{1}{4}\le\frac{401}{4}\quad\right|\text{2-te binomische Formel links}$$$$\left.\left(x^2-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{401}{4}\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.-\sqrt{\frac{401}{4}}\le x^2-\frac{1}{2}\le\sqrt{\frac{401}{4}}\quad\right|+\frac{1}{2}$$$$\left.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{401}}{2}\le x^2\le\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{401}}{2}\quad\right|\text{Wegen \(x^2\ge0\) linke Grenze weglassen}$$$$\left.x^2\le\frac{1+\sqrt{401}}{2}\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.|x|\le\sqrt{\frac{1+\sqrt{401}}{2}}\approx3,242297\quad\right.$$

Answer 2

Hallo, dein Taylorpolynom stimmt.

Wenn du nach Lagrange vorgehen willst, wird es sehr kompliziert werden. Das fängt damit an, dass du dein $\xi$ zwischen $x$ und $0$ wählen musst, aber auch dein $x$. Du hast also nur eine (Un)-Gleichung, aber zwei Unbekannte. Das ganze wird also sehr schwierig.

Hier eignet es sich tatsächlich, einfach mal die Differenz

$|f(x)-T_2f(x;0)|=...=\frac{1}{10^4}\cdot \frac{x^4}{100+x^2}$

auszurechnen und dann die Ungleichung

$|f(x)-T_2f(x;0)|\leq 10^{-4}$ (sind 0,01%)

zu lösen.