Aloha :)
Diese Funktion hat viele "Gesichter":$$f(x)=x^2(x^2-2)+1=x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2=[(x-1)(x+1)]^2$$
zu a) Wir müssen die Funktion von einer Nullstelle zur nächsten integrieren, weil Integrale oberhalb der \(x\)-Achse positiv sind und unterhalb der \(x\)-Achse negativ. Die Nullstellen der Funktion sind offensichtlich \(-1\) und \(1\), sodass für die gesuchte Fläche gilt:$$F_a=\left|\int\limits_{-1}^1f(x)\,dx\right|=\left|\int\limits_{-1}^1\left(x^4-2x^2+1\right)\,dx\right|=\left|\left[\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+x\right]_{-1}^1\right|=\frac{16}{15}$$
zu b) Für \(x\in[-1|1]\) ist \(f(x)=(x^2-1)^2\le1\). Die Gerade \(y=1\) bildet über \([-1|1]\) ein Rechteck mit der Fläche \(2\). Von dieser Fläche müssen wir die in a) berechnete Fläche unter der Kurve subtrahieren.$$F_b=2-F_a=\frac{14}{15}$$
~plot~ x^2(x^2-2)+1 ; 1 ; x=-1 ; x=1 ; [[-1,1|1,1|0|1,1]] ~plot~
