lim_n→∞ bestimmen wenn a_n nicht gegeben ist

Question

Hi, ich könnte mal wieder Hilfe gebrauchen

Aufgabe:

Bestimmen Sie lim_n→∞ a_n, wenn

c) \( a_{1}=1, a_{n+1}=3-\frac{1}{a_{n}}, n=1,2,3, \cdots \)

Ich hatte bisher immer die Formel von a_n gegeben und konnte da umstellen und erweitern um auf die Lösung zu kommen.

Hier könnte ich zwar nach a_n umstellen und erhalte -1/(a_n+1 -3) aber das ist noch vom Folgeglied abhängig und damit weiß ich auch nicht viel anzufangen.

Wenn ich für a_n+1 verschiedene werte von a1 ausgehend einsetze, dann geht der Grenzwert in Richtung 2,62..

Würde mich über hilfe sehr freuen,

Liebe Grüße

Comments

Die Idee ist: Wenn dein Grenzwert für n gegen unendlich existiert, dann hat natürlich deine Folge an den gleichen Grenzwert wie die folge an+1. Das bedeutet wir nehmen jetzt an, dass deine Folge Konvergent ist und da an und an+1 den gleichen Grenzwert besitzen den wir jetzt x nennen, können wir diesen berechnen in dem wir x für an und an+1 ersetzen. Dann hast du eine quadratische gleichung die du mit pq-Formel lösen kannst. Schlussendlich kommt raus (3+Wurzel5) /2 also ungefähr 2,618 wie von dir vermutet

Liebe Grüße :)

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Diese quadratische Gleichung hat zwei Lösungen.

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Ist ja keine Problem, wenn man vorher noch zeigt, dass die Folge von unten durch 2 beschränkt ist.

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Vielen lieben dank, ich hab das alles nachvollziehen können und verstehe jetzt auch die Aufgabe :)

Answer 1

Aloha :)

Wir untersuchen die Folge:$$a_{n+1}=3-\frac{1}{a_n}\quad;\quad a_1=1$$Wir zeigen durch Induktion, dass die Folge streng monoton wächst und beschränkt ist.

Verankerung bei \(n=1\):$$a_2=3-\frac{1}{a_1}=3-\frac{1}{1}=2>1=a_1\quad\checkmark$$Induktionsschritt: Nach Induktionsvoraussetzung gilt:$$a_{n+1}>a_n\implies \frac{1}{a_{n+1}}<\frac{1}{a_n}\implies -\frac{1}{a_{n+1}}>-\frac{1}{a_n}\implies 3-\frac{1}{a_{n+1}}>3-\frac{1}{a_n}$$$$\phantom{a_{n+1}>a_n}\implies a_{n+2}>a_{n+1}\quad\checkmark$$Da die Folge streng monoton wächst, ist sie nach unten durch \(a_1=1\) beschränkt. Nach oben ist sie durch \(3\) beschränkt, denn:$$a_{n+1}=3-\frac{1}{a_n}<3\quad;\quad a_1=1<3\quad\implies a_n<3\text{ für alle } n$$Die Folge ist also streng monoton wachsend und beschränkt durch \(1\le a_n<3\).

Wir bestimmen nun den Grenzwert:

$$\left. a_{n+1}=3-\frac{1}{a_n}\quad\right|\text{Grenzwertbildung}$$$$\left. \lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(3-\frac{1}{a_n}\right)=3-\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty} a_n}\quad\right|a\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}$$$$\left. a=3-\frac{1}{a}\quad\right|\cdot a$$$$\left. a^2=3a-1\quad\right|-3a+1$$$$\left. a^2-3a+1=0\quad\right|\text{pq-Formel}$$$$a_{1;2}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}-1}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{3\pm\sqrt5}{2}$$Wegen \(a_n\ge1\) fällt die Lösung mit der negativen Wurzel weg, sodass:$$a=\frac{3+\sqrt5}{2}\approx2,6180$$

Comments

Aloha,

eine wirklich ausführliche und sehr schön zu lesende Antwort ^^

Vielen dank, dass war wirklich sehr hilfreich :)