Finde den Real- und Imaginärteil der folgenden Zahl

Question

Aufgabe:

Probleme mit komplizierter Komplexen Zahlen Aufgabe

Problem/Ansatz:

Ich soll den Real- und Imaginärteil der folgenden Zahl "finden" und in kartesischer Form schreiben, komme allerdings nicht weiter, da es ein "neues" Konstrukt für mich ist.

Z=((-1)^(1/3) * (1+i)) / Wurzel(i)

Versuche schon länger alle möglichen Formen, komme aber nciht auf ein Ergebnis.
Mfg Ben

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$z=\frac{(-1)^{1/3}(1+i)}{\sqrt i}=\frac{(i^2)^{1/3}(1+i)}{i^{1/2}}=\frac{i^{2/3}}{i^{1/2}}(1+i)=i^{1/6}(1+i)$$$$\phantom{z}=\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)^{1/6}(1+i)=\left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right)^{1/6}(1+i)=e^{i\frac{\pi}{12}}(1+i)$$$$\phantom{z}=\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)(1+i)=\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}+i\cos\frac{\pi}{12}+i^2\sin\frac{\pi}{12}$$$$\phantom{z}=\cos\frac{\pi}{12}-\sin\frac{\pi}{12}+i\left(\sin\frac{\pi}{12}+\cos\frac{\pi}{12}\right)$$$$\phantom{z}=\sqrt2\,\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{12}\right)+i\sqrt2\,\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\,\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sqrt2\,\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$$$$\phantom{z}=\sqrt2\cdot\frac{1}{2}+i\sqrt2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{1}{\sqrt2}+i\frac{\sqrt6}{2}$$

Comments

Oh wow, mit so einer zeitigen Antwort habe ich nicht gerechnet.

Vielen Dank :)

---

Gerne, du musst mal schauen, ob du die Additionstheoreme kennst:

$$\cos x+\sin x=\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)$$$$\cos x-\sin x=\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$$

Die sind nicht allgemein bekannt. Vielleicht rechnest du einfach nur bis dahin und tippst dann alles in den Taschenrechner ein.

---

Hallo,

ich würde so rechnen:

$$(-1)^{1/3}=-1 \text{  denn } (-1)^3=-1$$

$$\sqrt{i}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i) \text{  denn } \left[\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\right]^2=i$$

Also

$$(-1)^{1/3}\frac{1+i}{\sqrt{i}}=-\sqrt{2}$$

Gruß

---

Hallo Mathepeter,

Danke für deine Antwort, aber würde das nicht zu einem anderen Ergebnis führen als die vorherige Antwort?

PS. Deine Videos retten mir mein Studium ;):)

---

Ja, ein anderes Ergebnis, deshalb der Kommentar, der zugleich eine Frage ist. Mal sehen, ob T noch etwas dazu sagt.

Im übrigen bin ich nicht DER MathePeter

Gruß

---

Das ist ein Klassiker. In dem Posting von MathePeter wird die Lösung der Gleichung \(x^3=-1\) mit \((-1)^{1/3}\) verwechselt.

Zusätzlich sind in \(\mathbb R\) Potenzen mit rationalen Exponenten nur für nicht-negative Argumente sauber definiert. Würde man negative Argumente zulassen, wäre z.B.$$-2=(-8)^{1/3}=\sqrt[3]{-8}=\sqrt[9]{(-8)^3}\ne\sqrt[6]{(-8)^2}=2$$

Zur Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1%29%5E%281%2F3%29%281%2Bi%29%2Fsqrt%28i%29

---

Danke für die Aufklärung :)

Schönen Abend noch

---

Hallo,

d.h. bei Wurzeln im Bereich der komplexen Zahlen ist definiert, dass man das kleinste Argument im Bereich \([0, 2 \pi)\) nimmt.

Dein Problembeispiel setzt sich auch ins Komplexe fort. Du hast gerechnet

$$(-1)^{1/3}=(i^2)^{1/3}=i^{2/3}$$

Dann könnte eine andere Rechnung es zweckmäßig machen, den Bruch zu erweitern:

$$(-1)^{1/3}=(i^2)^{1/3}=i^{2/3}=i^{4/6}=(i^4)^{1/6}=1$$

Deshalb würde ich in einem Term, wie in der Aufgabe angegeben, zuerst alle Wurzel-Terme nach der obigen Konvention umformen und dann weiterrechnen, was hier zu demselben Ergebnis führt.

Gruß

---

In \(\mathbb R\) die Wurzel aus einer Zahl stets als positiv oder null definiert. Deswegen schreibt man z.B. als Lösung der Gleichung \(x^2=3\) das Plusminus-Zeichen vor die Wurzel \(x=\pm\sqrt3\).

Und du hast völlig Recht, im Komplexen ist das Thema Wurzelziehen noch viel kritischer, weil z.B. \(e^{i\cdot0}\) und \(e^{i\,2\pi}\) nicht identisch, sondern nur gleich sind. \(e^{i\cdot2\pi}\) hat in der Gauß'schen Zahlenebene eine Umdrehung mehr hinter sich als \(e^{i\cdot0}\). Beim Wurzelziehen wird die Zahl der Umdrehungen halbiert:$$\sqrt{e^{i\cdot0}}=e^{i\cdot0\cdot\frac{1}{2}}=e^{i\cdot0}=1$$$$\sqrt{e^{i\cdot2\pi}}=e^{i\cdot2\pi\cdot\frac{1}{2}}=e^{i\cdot\pi}=-1$$In \(\mathbb C\) kann man sehr leicht unbemerkt über Wurzeln stolpern.

Ähnlich wie bei den reellen Zahlen, gibt es in \(\mathbb C\) die Konvention, dass die Wurzel immer die Zahl ist, die in Polardarstellung das kleinstmögliche Argument hat.