E-Funktion Tangente Integralrechnung

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Exponentialfunktion durch die Gleichung

h(x)=3e^-1/3x+3-3 mit D=R. Der Graph der Funkion heißt G.

a) Ermitteln Sie rechnerisch die Nullstellen der Funktion h

b) Berechnen Sie x so, dass die Tangente t an den Graphen G den Anstieg m=–2/3 hat

c) Der Graph G begrenzt mit den Koordinatenachsen eine Fläche vollständig. Ermitteln Sie diese Fläche.

Problem/Ansatz:

Die NL müsste x=9 sein. Danach komme ich leider nicht weiter

Answer 1

Wie bildet man die Stammfunktion bei C)?
Zunächst für
3e ^(-1/3x + 3 )

Die e-Funktion kann nur aus einer e-Funktion kommen
Probeweise leite ich ab
( 3e ^(-1/3x + 3 ) ) ´ = 3e ^(-1/3x + 3 ) * ( -1/3)
Da wären wir ja fast schon wo wir hinwollen
nur das -1/ 3 stört und muß durch eine Gegenoperation
aufgehoben werden
(-3 ) * 3e ^(-1/3x + 3 )
Stammfunktion
(-3 ) * 3e ^(-1/3x + 3 )
abgelitten
3e ^(-1/3x + 3 )
Noch die -3 hinzu
H ( x ) = (-3 ) * 3e ^(-1/3x + 3 )  - 3x

Comments

Hast du meine Gedanken gelesen, Erd(be)arbeiter? :)

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kann man die (-3)*3e zusammenfassen =-9e?

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Nein. Ich habe bei Antwort nicht gedacht
" was hätte gast2016 " wohl jetzt gemacht.

Nochmals die Frage
Was ist ein Erd(be)arbeiter? :

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kann man die (-3)*3e zusammenfassen
=-9e ?
Ja aber besser notiert
(-3)*3e
(-3 *3 ) * e...
-9 * e...

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Gelöscht. Fülltext.

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Nochmals die Frage
Was ist ein Erd(be)arbeiter? :

Der Name Georg ist eine Form des griechischen Männernamens Γεώργιος (altgriechische Aussprache Geōrgios, heutige Aussprache Jórgos). Der Name ist abgeleitet von γεωργός (geōrgós, Aussprache jorgós) ‚Landwirt‘. Das Wort ist zusammengesetzt aus γῆ/γη (gē/ji) ‚Erde‘ und ἔργον/έργο (érgon/érgo) ‚Arbeit‘ und bedeutet eigentlich ‚Erd(be)arbeiter‘.

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Toll.Toll.Toll.
Was es nicht alles gibt.

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Nihil est, quod non sit.

Das sieht man an mir -- und dir! :))

Heute gelesen: Es gab von 93 Mio. Jahren geflügelte Haie:

https://www.wissenschaft.de/erde-klima/gefluegelter-hai-der-kreideze…

Lieber ein Hai mit Flügel

als ein Loch im Kübel.

So wird der fliegende Hai,

der Haie letzter Schrei (le dernier cri).

PS:

Treffen sich zwei Fische:

Sagt der eine: Hi!

Darauf der andere: Wo?

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@ meliha78.
schau dir

an.

@gast2016
Fernsehkommentar Natursendung
" Quallen : Seit 500 Millionen Jahre schwimmen sie in den Ozeanen und haben kein Hirn "

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Deine 2.Frage

g(x) = e^(3/4x-1)-1
e^(3/4x-1)-1 = 0
e^(3/4x-1) = 1 | ln()
3/4 x -1 = ln(1)
3/4*x = 1
x = 4/3

Steigung
f ´( x) = e^(3/4x-1) * (3/4)
f ´( 4/3) = e^(3/4*(4/3)-1) * (3/4)
m Tangente = 3/4
f ( 4/3) = 0
e^(3/4*(4/3)-1) * (3/4) = 0

0 = 3/4 * *4/3 + b
b = -1

t(x) = 3/4 * x -1

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" Quallen : Seit 500 Millionen Jahre schwimmen sie in den Ozeanen und haben kein Hirn "

Dafür können sie gut schwimmen. Zum Überleben reicht es offenbar.

Quallen wirds noch geben, wenn die Menschheit längst ausgestorben ist.

Spruch der klugen Qualle:

Nur der Mensch macht sich selber alle! :)

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Sehr schön gereimt.

Aus der Rubrk kurz und bündig
" Warum beantworten Sie eine Frage
eigentlich immer mit einer Gegenfrage ? "
" Warum nicht "

Answer 2

Zu b) h'(x)=-e^-x/3+3

-2/3=-e^-x/3+3 für x_m=3·ln(3/2)+9 und y_m=-1.

Tangentengleichung in Punkt-Steigungs-Form:

-2/3=$\frac{y+1}{x-x_m}$.

Zu c) $\int\limits_{0}^{9}$ h(x) dx.

Comments

Wie bildet man die Stammfunktion bei C)?

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Stammfunktion: H(x)=-9e^-x/3+3-3x .

Answer 3

a) 3*e^(-1/3x+3) -3= 0

3*e^(-1/3x+3)=3

e^(-1/3x+3)= 1 = e⁰

-1/3*x+3 =0

x= 9

b) h'(x) = -2/3

-e^(-1/3*x+3) = -2/3

e^(-1/3*x+3) = 2/3

-1/3*x+3 = ln(2/3)

x= (ln(2/3)+3)*(-3)

c) Integral von 0 bis 9 berechnen:

[-9*e^(-1/3x+3x) -3x]von 0 bis 9 = 144,77

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+3*e%5E%28-1%2F3x%2B3…

Answer 4

h(x)=3e^(-1/3x+3)-3

a) Ermitteln Sie rechnerisch die Nullstellen der Funktion h:

Deine Nullstelle ist richtig.

b) Berechnen Sie x so, dass die Tangente t an den Graphen G den Anstieg m=–2/3 hat

Text erkannt:

$h^{\prime}(x)=3 e^{-\frac{1}{3} x+3}=3 \cdot e^{-\frac{1}{3} x+3} \cdot\left(-\frac{1}{3}\right)$
$3 \cdot e^{-\frac{1}{3} x+3} \cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}$
$e^{-\frac{1}{3} x+3}=\frac{2}{3}$
$-\frac{1}{3} x+3=\ln \left(\frac{2}{3}\right),$ weil $\ln e=1$
$-\frac{1}{3} x=\ln \left(\frac{2}{3}\right)-3 \mid \cdot(-3)$
$h\left(-3 \ln \cdot\left(\frac{2}{3}\right)+9\right)=3 e^{-\frac{1}{3} \cdot\left(-3 \ln \cdot\left(\frac{2}{3}\right)+9\right)+3}-3$
$x=-3 \ln \cdot\left(\frac{2}{3}\right)+9$
$\left(-3 \ln \cdot\left(\frac{2}{3}\right)+9\right)=3 e^{\ln \cdot\left(\frac{2}{3}\right)}-3=3 \cdot \frac{2}{3}-3=-1$

c) Der Graph G begrenzt mit den Koordinatenachsen eine Fläche vollständig. Ermitteln Sie diese Fläche

Text erkannt:

$A=\int \limits_{0}^{9}\left(3 e^{-\frac{1}{3} x+3}-3\right) \cdot d x=3 \cdot \int \limits_{0}^{9}\left(e^{3-\frac{1}{3} x}\right) \cdot d x-3 \int \limits_{0}^{9} d x=$
$=3 e^{3} \cdot \int \limits_{0}^{9} e^{-\frac{1}{3} x} \cdot d x-3 \cdot \int \limits_{0}^{9} d x$
Substitution:
$\int e^{-\frac{1}{3} x} \cdot d x=\int e^{u} \cdot(-3) \cdot d u=-3 \int e^{u} \cdot d u$
$-\frac{1}{3} x=u \rightarrow \rightarrow-\frac{1}{3} x=u$
$x=-3 u$
$d x=-3 \cdot d u$
$\int e^{-\frac{1}{3} x} \cdot d x=\int e^{u} \cdot(-3) \cdot d u=-3 \int e^{u} \cdot d u=-3 e^{u}$
Und zurück:
$\int e^{-\frac{1}{3} x} \cdot d x=-3 \cdot e^{-\frac{1}{3} x}$
$u \cdot S \cdot W$