Wie wird die Stammfunktion berechnet?

Question

Aufgabe:

Was ist die Stammfunktion von

-4^0,5x-3 +4

Answer 1

$\begin{aligned}&\int \left(-4^{0,5x-3}x +4\right)\mathrm{d}x\\=&\int\left(-\mathrm{e}^{\ln 4(0,5x-3)}+4\right)\mathrm{d}x\\ =& -\frac{2}{\ln 4}\mathrm{e}^{\ln 4(0,5x-3)}+4x + C\end{aligned}$

Letzteres gilt wegen $\int \mathrm{e}^{mx+b} = \frac{1}{m}\mathrm{e}^{mx+b}+C$, was aus der Kettenregel folgt.

Answer 2

Aloha :)

Ableitung und Integral von Termen der Form $a^{bx}$ mit $a>0$ kommen recht oft vor. Es macht daher Sinn, sich diese einmal genauer anzusehen. Dafür nutzen wir aus, dass eine Funktion und ihre Umkehrfunktion ihre Wirkungen gegenseitig kompensieren:$$a^{bx}=e^{\ln\left(a^{bx}\right)}=e^{bx\ln\left(a\right)}$$Ableitung und Integral sind dann:$$\left(a^{bx}\right)=e^{bx\ln(a)}\cdot b\ln(a)=a^{bx}\cdot\ln(a^b)$$$$\int a^{bx}dx=\frac{e^{bx\ln(a)}}{b\ln(a)}=\frac{a^{bx}}{\ln(a^b)}$$Man muss also nur das $x$ weglassen und beim Ableiten mit dem Logarithmus vom Rest multiplizieren bzw. beim Integrieren durch den Logarithmus vom Rest dividieren.

Damit ist:$$\int\left(-4^{0,5x-3}+4\right)dx=-\int4^{0,5x}\cdot4^{-3}dx+\int 4dx=-\frac{1}{64}\int2^xdx+\int 4dx$$$$\phantom{\int\left(-4^{0,5x-3}+4\right)dx}=-\frac{2^x}{64\ln(2)}+4x+\text{const}$$

Answer 3

Text erkannt:

$f(x)=-4^{0,5 x-3}+4$
$$F(x)=\int\left(-4^{-3+0,5 x}+4\right) \cdot d x=-\frac{1}{4^{3}} \int 4^{0,5 x} \cdot d x+4 \int d x$$
- - - - - - - - - - - - - - - - - $\int 4^{0,5 x} \cdot d x=$
Substitution:
$0,5 x=u$
$x=2 u$
$d x=2 \cdot d u$
$$\int 4^{u} \cdot 2 \cdot d u=2 \cdot \int 4^{u} \cdot d u=\frac{2 \cdot 4^{u}}{\log (u)}$$
Und zurück:
$$\int 4^{0,5 x} \cdot d x=\frac{2 \cdot 4^{0,5 x}}{\log (0,5 x)}+C$$

Comments

Warum ist denn $\displaystyle\int4^u\,\mathrm du=\frac{4^u}{\log(u)}$ ?

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Ich habe mich leider verschrieben:

Es muss heißen:

Text erkannt:

$\int 4^{u} \cdot d u=\frac{4^{u}}{\log (4)}+C$