Wie überprüfe ich ein Spiel universal ob es Fair ist?

Question

Erwartungswert und faires Spiel

Bei einem Glücksrad sind 2/5 der Felder blau, 2/5 rot und 1/5 gelb. Der Einsatz beträgt für einmal Drehen 2 Euro, die Ausschütuung erfolgt nach dem Gewinnplan. Untersuchen SIe, ob das Spiel fair ist.

Gewinnplan:

blau 1 euro

gelb 4 euro

rot 0 euro

Mein Ergebnis: Der Erwartungswert der Auszahlung ist 1,2, also 1,2 euro.

Der Einsatz von 2 euro ist höher als die erwartete Auszahlung von 1,2€. Somit ist das Spiel unfair.

Meine Frage ist jetzt folgende:

Wie überprüfe ich ein Spiel universal ob es Fair ist ? Ich muss den Erwartungswert deuten, aber wie ?

In Lernvideos wird mir immer gesagt der Erwartungswert muss 0 sein, damit das Spiel fair ist, mein Arbeitsblatt sagt mir aber, dass man den Erwartungswert der Auszahlung mit dem Einsatz des Glückspiels vergleichen soll, um zu schauen ob es fair ist. Was stimmt nun ? Ich verstehe es einfach nicht.

Ich bin euch unglaublich dankbar für eure Hilfe !

eure Alina

Answer 1

Untersuchen SIe, ob das Spiel fair ist.

Das Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns 0 ist.

Gewinn ist Auszahlung minus Einsatz.

den Erwartungswert der Auszahlung mit dem Einsatz des Glückspiels vergleichen

Sind die gleich, dann ist das Spiel fair. Weil dann auch der Erwartungswert des Gewinns 0 ist.

Es gibt aber nicht immer einen Einsatz, der ein mal vor Spielbeginn bezahlt werden muss. Zum Beispiel:

Ein Würfel wird geworfen. Bei einer geraden Augenzahl zahlt Spieler A an Spieler B einen Eurobetrag entsprechend der Augenzahl. Ansonsten zahlt Spieler B an Spieler A einen Eurobetrag entsprechend der Augenzahl.

Deshalb ist der Vergleich von Erwartungswert der Auszahlung und Einsatz nicht immer möglich.

Answer 2

Aloha :)

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt:$$p(\text{blau})=\frac{2}{5}\quad;\quad p(\text{rot})=\frac{2}{5}\quad;\quad p(\text{gelb})=\frac{1}{5}$$

Für die Auszahlungen gilt:$$A(\text{blau})=1,00\quad;\quad A(\text{rot})=1,00\quad;\quad A(\text{gelb})=4,00$$

Da einmal Drehen \(2,00\) Euro kostet, haben wir als Erwartungswert für den Gewinn des Spielers:$$\overline G=\frac{2}{5}\cdot(1,00-2,00)+\frac{2}{5}\cdot(0,00-2,00)+\frac{1}{5}\cdot(4,00-2,00)=-0,80$$

Der Erwartungswert für den Gewinn des Spielers ist negativ, daher ist das Spiel unfair.

Die Auszahlung alleine lässt keine Rückschlüsse darauf zu, ob ein Spiel fair ist. Hier muss der Spieler ja zunächst einen Einsatz von 2€ bezahlen, um überhaupt mitspielen zu dürfen. Du musst also immer den Gewinn, also Auszahlung minus Einsatz betrachten. Wenn der Erwartungswert des Gewinns null ist, ist das Spiel für beide Seiten fair.