Aloha :)
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Ja, du sollst Nullstellen bestimmen, aber nicht diejenigen der Funktion, sondern diejenigen der Ableitung. Die Frage ist ja, wo die Funktion die Steigung null hat.
$$f'(x)=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}\stackrel!=0\implies\frac{2}{3}x=\frac{1}{6}\implies x=\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$
Die \(y\)-Koordinate des gesuchten Punktes erhalten wir durch Einsetzen von \(x=\frac{1}{4}\) in die Funktionsgleichung:
$$f\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{16}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{4}+\frac{2}{3}=-\frac{1}{48}+\frac{1}{24}+\frac{2}{3}=\frac{-1+2+32}{48}=\frac{33}{48}$$
Der gesuchte Punkt ist also \(P\left(\frac{1}{4}\,\big|\,\frac{33}{48}\right)\). Wie die Abbildung zeigt, handelt es sich bei dem Punkt um das Maximum der Funktion.
~plot~ -x^2/3+x/6+2/3 ; {1/4|33/48} ; [[-2|2|-1|1]] ~plot~
