Die Tangente in einem Hyperbelpunkt halbiert den Winkel zwischen den Brennstrecken dieses Punktes. Verifiziere diesen Satz für den Punkt \(P ( \blue{26}| \green{72}) \) der Hyperbel aus a).
\(9x^2- y^2=900\) \(\frac{x^2}{100}- \frac{y^2}{900}=1\)
Brennpunkte:
\(e^2=a^2+b^2\) → \(e^2=100+900\) → \(e=\sqrt{1000}\)
\(F_1(-\sqrt{1000}|0)\) \(F_2(\sqrt{1000}|0)\)
Gerade durch \(F_1(-\sqrt{1000}|0)\) und \(P ( 26| 72) \)
\(\frac{y-72}{x-26}=\frac{0-72}{-\sqrt{1000}-26}=\frac{72}{\sqrt{1000}+26}\)
\(y=\frac{72(x-26)}{\sqrt{1000}+26}+72\)
\(-1,25x+y-39,51=0\)
Gerade durch \(F_2(\sqrt{1000}|0)\) und \(P ( 26| 72) \)
\(\frac{y-72}{x-26}=\frac{0-72}{\sqrt{1000}-26}=\frac{-72}{\sqrt{1000}-26}\)
\(y=\frac{-72(x-26)}{\sqrt{1000}-26}+72\)
\(12,81x+y-404,93=0\)
Winkelhalbierende (Hessesche Normalform):
\( \frac{-1,25x+y-39,51}{\sqrt{(-1,25)^2+1^2}} =\frac{12,81x+y-404,93}{\sqrt{12,81^2+1^2}}\)
\(y=3,25094x-12,4946\)
Tangentengleichung:
\(f(x,y)=9x^2- y^2-900\)
\(f_x(x,y)=18x\)
\(f_y(x,y)=-2y\)
\(f'(x)=-\frac{18x}{-2y}=\frac{9x}{y} \)
\(f'(\blue{26})=\frac{9\cdot \blue{26}}{\green{72}}=\frac{13}{4} \)
Punktsteigungsform der Tangente:
\( \frac{y-\green{72}}{x-\blue{26}}=\frac{13}{4} \)
\(t: f(x)= \frac{13}{4}x-12,5 \)
