Volumenberechnung eines Kegelstumpfes bei Änderung der Höhe h

Question

Aufgabe:Kegelstumpf Volumen berechnen bei Veränderung der Höhe (h)

Problem/Ansatz:

Ich habe einen Kegelstumpf mit folgenden Maßen

Radius der Grundfläche (rG)=1,25m

Radius der Deckfläche   (rD)=0,35m

Höhe (h)                               = 0,5m

Die Formel für die Volumen Berechnung ist mir bekannt.

Nach meiner Berechnung : V=1,11m/3

Problem:

Ich befülle diesen Kegelstumpf mit Wasser. Die Höhe (h) des Wasserspiegels soll aber nur 0,15m betragen.

Wichtig: Es soll der gleiche Kegelstumpf sein !

Ich brauche das Volumen der aufgefüllten Wassermenge bei einer Höhe von 0,15m und den Radius der neuen dadurch entstandene Deckfläche.

Answer 1

Zerschneide den Kegelstumpf in zwei kongruente Teile.

Die Schnittfläche ist ein achsensymmetrisches Trapez.

Ergänze sie zu einem gleichschenkligen Dreieck.

Jetzt kann man mit Strahlensätzen den Radius der Deckfläche in der Höhe 0,15m berechnen.

Comments

Besten Dank,

Mathe liegt bei mir schon einbischen zurück ( ca. 45Jahre).

Wenn möglich ein wenig genauer und eventuell mit meinen angegebene Werten als Beispiel

Answer 2

Eine Antwort auf die Schnelle

Radius der Grundfläche (rG)=1,25m
Radius der Deckfläche (rD)=0,35m
Höhe (h)                              = 0,5m

Die Formel für die Volumen Berechnung ist mir bekannt.
Nach meiner Berechnung : V=1,11m/3

In der Höhe 0.15 m beträgt der Radius
0.98 m

Radius der Grundfläche (rG)= 1,25 m
Radius der Deckfläche (rD)= 0,98 m
Höhe (h)                              = 0,15 m

Damit müßtest du das Voumnen berechnen
können

Comments

Dass ist schon mal Klasse.

Besten Dank.

Kannst du mir vielleicht auch noch den Rechenschritt für die Berechnung des Radius zur Deckfläche mitteilen.

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Hier eine Skizze.
Dargestellt ist der halbe Kegelstumpf.

Strahlensätze

0.5 zu 0.9 = 0.35 zu x
0.5 / 0.9 = 0.35 / x
x = 0.63

Radius in der Höhe 0.15 m

mfg Georg

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Korrektur
Radius n der Höhe 0.15 m
x + 0.35 = 0.98 m

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Folgende Idee für die Rechnung. Wir ergänzen deinen Kegelstumpf virtuell zu einem vollständigen Kegel, indem wir einen kleinen Kegel mit der passenden Höhe $h_k$ oben drauf stellen.

Aus den Maßen deines Kegelstumpfes erhalten wir das Verhältnis $\frac{\Delta h}{\Delta r}=\frac{0,5\,\mathrm m}{1,25\,\mathrm m-0,35\,\mathrm m}=\frac{5}{9}$ und können daraus die Höhe des Kegels für oben drauf bestimmen:$$h_k=\frac{5}{9}\cdot r_k=\frac{5}{9}\cdot0,35\,\mathrm m=\frac{5}{9}\cdot\frac{35}{100}\,\mathrm m=\frac{1}{9}\cdot\frac{35}{20}\,\mathrm m=\frac{7}{36}\,\mathrm m\approx0,1944\,\mathrm m$$Wäre dein Kegelstumpf also ein vollständiger Kegel, hätte er folgende Maße:$$\text{Grundradius}\quad R_G=1,25\,\mathrm m\quad;\quad\text{Höhe}\quad H=\frac{25}{36}\,\mathrm m\approx0,6944\,\mathrm m$$

Jetzt können wir die Füllmenge $V$ in Abhängigkeitvon von der Höhe $w$ des Wasserspiegels bestimmen:

$$V=V(\text{gesamter Kegel})-V(\text{Kegel oberhalb des Wasserspiegels})$$$$\phantom{V}=\frac{1}{3}\pi R_G^2H-\frac{1}{3}\pi\left(R_G-\frac{9}{5}w\right)^2(H-w)=\cdots$$$$\phantom{V}=\left(\frac{6}{5}\pi HR_G+\frac{1}{3}\pi R_G^2\right)w-\left(\frac{27}{25}\pi H+\frac{6}{5}\pi R\right)w^2+\frac{27}{25}\pi w^3$$$$\boxed{V=4,90874\,w - 7,06858\,w^2 + 3,39292\,w^3}\quad\text{in }\mathrm m^3\text{ bzw. }1000\ell$$

Zur Kontrolle, für $w=0,5\,$ also wenn dein Kegelstumpf randvoll wäre, kommt als Volumen $V=1,11134\,\mathrm m^3$ heraus, was gut zu deiner Volumenberechnung passt ;)

Wenn dein Wasserspiegel $w=0,15\,\mathrm m$ hoch sein soll, brauchst du also $V(0,15)=588,72\ell$ Wasser.