Abschätzung n^(1/n) durch eine reelle Zahl nach oben

Question

Hallo an alle!

Ich bin bei meiner Hausarbeit auf ein mathematisches Problem gestoßen. Ich würde gerne $n^{1/n}$ durch eine reelle Zahl nach oben abschätzen. Ich habe mir gedacht:

$n<2^n \Rightarrow n^{1/n}<2$

Damit komme ich aber nicht weiter, die Abschätzung ist zu grob, ich brauche eine bessere Abschätzung mit einer kleineren oberen Grenze. Könnt ihr mir dabei helfen?

Danke euch für jeden Input.

Hans

Answer 1

Aloha :)

Der Plot vom "Coach" hat mich auf eine Idee gebracht. Er hat als Abschätzung $e^{1/e}$ angegeben. Wenn es sich bei deinem $n$ um natürliche Zahlen handelt, kann man aus dem Plot vom "Coach" erkennen, dass $\sqrt[3]{3}$ die kleinstmögliche Abschätzung sein sollte.

Wir betrachten das Monotonie-Verhalten der Funktion$$f(x)\coloneqq x\,\frac{\ln3}{3}-\ln x\quad;\quad x\in\mathbb R^+$$

Wie der Plot zeigt, ist sie wie erwartet nicht überall positiv.

Plotlux öffnen

f₁(x) = x·ln(3)/3-ln(x)Zoom: x(0…4) y(-0,01…0,2)

Da $x$ schneller wächst als $\ln x$ erwarten wir, dass $f(x)$ ab einem bestimmten $x$ monoton wächst. Wir prüfen daher, für welche $x$ die erste Ableitung $f'(x)\ge0$ ist:$$f'(x)=\frac{\ln3}{3}-\frac{1}{x}\stackrel?{\ge}0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\ln3}{3}\ge\frac{1}{x}\quad\Longleftrightarrow\quad x\ge\frac{3}{\ln3}\approx2,73$$

Daher gilt insbesondere für alle $x\ge3$:$$f(x)\ge f(3)=3\,\frac{\ln3}{3}-\ln 3=0\implies x\,\frac{\ln 3}{3}-\ln x\ge0\implies \frac{x}{3}\,\ln3\ge\ln x\implies$$$$\ln\left(3^{x/3}\right)\ge \ln x\implies 3^{x/3}\ge x\implies 3^{1/3}\ge x^{1/x}\implies\sqrt[x]{x}\le\sqrt[3]{3}$$

Da inbseondere $1^1=1$ und $2^{1/2}\approx1,41$ kleiner als $\sqrt[3]{3}\approx1,44$ sind, gilt für alle $n\in\mathbb N$:$$\boxed{\sqrt[n]{n}\le\sqrt[3]{3}}<e^{1/e}$$

Eine bessere Abschätzung für alle $n\in\mathbb N$ gibt es nicht, weil $\sqrt[3]{3}$ für $n=3$ sogar angenommen wird. Ich hoffe, dass du nun mit dieser Abschätzung besser klar kommst.

Comments

Ah, vielen Dank, genau das habe ich gesucht. Die Lösung von mathecoach konvergiert bereits, aber langsam. Mit dem Startwert $3^{1/3}=1,44225$ konvergiert das Modell deutlich schneller als mit dem Startwert $e^{1/e}=1,44467$. Wahnsinn, was das ausmacht.

Vielen Dank an alle, ihr habt mir sehr geholfen.

Answer 2

Kannst du eine Wertetabelle aufstellen und eine Vermutung aufstellen.

Plotlux öffnen

f₁(x) = x^(1/x)Zoom: x(0…10) y(0…2)

Könntest du dann Extrempunkte ausrechnen.

Extrempunkt (e | e^(1/e))

Comments

Danke dir, gute Idee das einfach zu plotten! Dann wäre also etwa 1,4447 die obere Grenze. Ich brauche das für eine Computer-Simulation und probiere das gleich mal aus. Hoffentlich konvergiert sie jetzt.

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Ich drücke die Daumen.

Answer 3

Die Folge konvergiert gegen 1. Du kannst also jede Grenze oberhalb von 1 nehmen, sie wird irgendwann unterschritten.

Es gilt übrigens auch für fast alle n

n<$\sqrt{2} ^n$