Zeige: Die Eigenräume zu einem gemeinsamen Eigenwert von A und A^T haben die gleiche Dimension.

Question

Sei \( n \in \mathbb{N} \) und sei \( K \) ein Körper. Ferner sei \( A \in \operatorname{Mat}(n \times n, K) \).

(a) Zeigen Sie, dass \( A \) und \( { }^{t} A \) dieselben Eigenwerte besitzen.

(b) Zeigen Sie, dass die zu einem gemeinsamen Eigenwert von \( A \) und \( { }^{t} A \) gehörenden Eigenräume dieselbe Dimension haben.

Answer 1

Folgt meiner Meinung nach aus den Eigenschaften der Determinanten, s.d.: \(det(A)=det({}^{t}A)\)

Überlegt euch dann noch, dass \(({}^{t}A-\lambda\cdot E_{n})={}^{t}(A_\lambda\cdot E_{n})\), da sich hier ja nur auf der Diagonalen was verändert

Damit ist klar, dass \(\chi_{A}=det(A-\lambda\cdot E_{n})=det{}^{t}(A-\lambda\cdot E_{n})=det({}^{t}A-\lambda\cdot E_{n})=\chi_{{}^{t}A}\), also \(A\) und \({}^{t}A\) das gleiche charakteristische Polynom haben, also auch die gleichen Eigenwerte in gleicher Vielfachheit