Berechnung der Maximalen Steigung von f(x) im Intervall (0;6), Zusammenhang mit Wendestelle

Question

Aufgabe: Berechnen Sie die maximale Steigung des Graphen f(x): -0,001x³ + 0,02x² - 0,05x + 0,9 im Intervall (0;6)

Problem/Ansatz: Ich musste zuvor die Wendestellen im Intervall (0;6) errechnen, wo ich auf das Ergebnis kam, dass in dem Intervall keine vorliegt, sondern erst bei ungefähr 6,67.

Nun bin ich bei dieser Aufgabe wie immer mit der ersten Ableitung vorgegangen und kam zu den Nullstellen 11,94 und 1,4. Die 1,4 eingesetzt in die 2.Ableitung und das Ergebnis größer 0, demnach ein Minimum.

Habe in den Lösungen und Tippteil geschaut und da stand dann „da die Wendestelle von f nicht im Intervall (0;6) liegt, ist die maximale Steigung an den Rändern des Intervalls zu finden.“ Man müsse also 0 und 6 in die 1. Ableitung einsetzen.

Doch diesen Entschluss verstehe ich nicht genau, der Zusammenhang der Wendestelle mit der maximalen Steigung. Wie genau steht die Wendestelle also im Zusammenhang mit der Maximalen Steigung?

In den Lösungen kommt man dann auf 8,2 % nachdem man in die 1. Ableitung einsetzt.

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion sieht wie folgt aus:$$f(x)=-\frac{1}{1000}x^3+\frac{1}{50}x^2-\frac{1}{20}x+\frac{9}{10}$$

Die Ableitung dieser Funktion gibt die Steigung an im jeweiligen Punkt $x$ an:$$f'(x)=-\frac{3}{1000}x^2+\frac{1}{25}x-\frac{1}{20}$$

Nun ist nach der maximalen Steigung gefragt, also nach dem Maximum der Funktion $f'(x)$ Wie immer bei der Suche nach dem Maximum, untersuchen wir die Ableitung der zu maximierenden Funktion. Hier ist nun die Ableitung $f'(x)$ die zu maximierende Funktion, sodass ihre Ableitung null sein muss. Die Ableitung der Ableitung $f'(x)$ ist aber genau die zweite Ableitung $f''(x)$.

$$f''(x)\stackrel!=0\quad\implies\quad\text{\(x\) ist Kandidat für stärksten Anstieg oder Abfall}$$Allerdings ist $f''(x)\stackrel!=0$ auch eine notwendige Bedingung für einen Wendepunkt:$$f''(x)\stackrel!=0\quad\implies\quad\text{\(x\) ist Kandidat für einen Wendedpunkt}$$

Wenn man kurz darüber nachdenkt, ist das auch klar. An einem Wendepunkt ändert der Graph sein Krümmungsverhalten.

1) Wenn er von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht, wird der Anstieg flacher, die Funktion wächst also langsamer.

2) Wenn er von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung übergeht, wird der Abstieg flacher, de Funktion fällt also langsamer.

In deinem Beispiel gibt es nun ein anderes Problem. Der Punkt des stärksten Anstiegs bzw. der Wendepunkt liegt außerhalb des betrachteten Intervalls $(0;6)$:$$0\stackrel!=f''(x)=-\frac{3}{500}x+\frac{1}{25}\implies x=\frac{500}{3\cdot25}=\frac{20}{3}\approx6,67>6$$

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f₁(x) = -0,001x³+0,02x²-0,05x+0,9Zoom: x(0…6) y(0,85…1,15)

Noch deutlicher wird das, wenn du dir die Ableitung $f'(x)$ ansiehst:

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f₁(x) = -0,003x²+0,04x-0,05Zoom: x(0…6) y(-0,06…0,09)

In solchen Fällen, wo der berechnete Kandidat für den Extremwert außerhalb des Definitionsbereichs liegt, kann das Extremum nur am Rand des Definitionsbereichs sein. Daher musst du hier untersuchen, ob die Funktion $f'(x)$ an den beiden Rändern maximal ist. Aus dem Graph erkennt man, dass die Ableitung bei $f(6)$ tatsächlich ihr Maximum hat. Der stärkste Anstieg wäre also hier tatsächlich am Rand des Definitionsbreichs bei $x=6$.

ABER: Das betrachtete Intervall $(0;6)$ ist offen, das heißt, die $6$ selbst gehört nicht mehr zum Definitionsbereich. Du kannst daher innerhalb des Definitionsbreichs kein $x$ angebgen, bei dem die Steigung maximal ist. Schreibst du z.B. $5,999$ komme ich und sage, bei $5,9991$ ist die Steigung aber größer.

Answer 2

Hallo

maxima der Steigung, sind Maxima von f'(x) und das Max von f' findet man indem man f' ableitet also f'' bildet und es 0 setzt, d.h. der Wendepunkt ist eine notwendige Bedingung für f' hat Max.

Gruß lul

Comments

Also ist hier mit maxima der Steigung gar nicht ein lokaler Extrem Punkt gemeint. Sondern m

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Es ist ein Extrempunkt von f'(x) gefragt und nicht ein Extrempunkt von f(x).

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Ok hm aber da steht ja die maximale Steigung von f(x) im intervall (0;6) und nicht von f'(x) oder habe ich was falsch verstanden? :/

Answer 3

Vielleicht hilft es dir wenn du dir die Funktion und die Ableitung ansiehst. Die Ableitung (rot) gibt die Steigung des Graphen (blau) an

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f₁(x) = -0,001x³+0,02x²-0,05x+0,9f₂(x) = -0,003x²+0,04x-0,05Zoom: x(0…6) y(-0,2…1,2)