Polynome und Polynomfunktionen, Abbildung

Question

Aufgabe:

Aufgabe 4 (Polynome und Polynomfunktionen). Wir betrachten die folgende Abbildung:
$\begin{array}{l} L: \mathbb{F}_{2}[T]_{5} \longrightarrow \mathbb{F}_{2} \mathbb{F}_{2}, \quad p \mapsto f_{p} \\ \text { mit } f_{p}: \mathbb{F}_{2} \longrightarrow \mathbb{F}_{2}, x \mapsto p(x):=\sum \limits_{k=0}^{5} p_{k} x^{k}, \text { für } p=\sum \limits_{k=0}^{5} p_{k} T^{k} \end{array}$
Des Weiteren seien $\mathscr{A}=\left(1, T, T^{2}, T^{3}, T^{4}, T^{5}\right)$ eine Basis von $\mathbb{F}_{2}[T]_{5}$ und $\mathscr{B}=\left(\delta_{0}, \delta_{1}\right)$ eine Basis von $\mathbb{F}_{2}^{\mathrm{F}_{2}} ;$ dabei ist $\delta_{i}(j):=\delta_{i, j}$ für alle $i, j \in \mathbb{F}_{2}$.
(a) Zeigen Sie, dass $L$ linear ist.
(b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix $M_{\mathscr{B}}^{\mathscr{A}}(L)$ von $L$.
(c) Bestimmen Sie Basen von Kern $L$ und Bild $L,$ sowie Rang $L$.
(d) Finden Sie Basen $\mathscr{A}^{\prime}$ bzw. $\mathscr{B}^{\prime}$ der Räume $\mathbb{F}_{2}[T]_{5}$ bzw. $\mathbb{F}_{2}^{\mathrm{F}_{2}}$ so, dass die Darstellungsmatrix $M_{\mathscr{B}^{\prime}}^{\mathscr{\alpha}^{\prime}}(L)$ von $L$ bzgl. dieser Basen die Normgestalt aus (4.18) besitzt. Geben Sie zudem die Transformationsmatrizen der Basiswechsel an.

könnt ihr mir helfen?

Answer 1

Für die Linearität kannst du erst mal zeigen:

Für alle p,q ∈ $\mathbb{F}_{2}[T]_{5}$ gilt L(p+q)=L(p)+L(q).

Etwa so: Seien p,q ∈ $\mathbb{F}_{2}[T]_{5}$ dann gibt es

für k=0 bis 5  p_k und q_k aus F₂ mit

$$p=\sum \limits_{k=0}^{5} p_{k} T^{k} und q=\sum \limits_{k=0}^{5} q_{k} T^{k}$$

also gilt nach Def. von + im Polynomring $$p+q=\sum \limits_{k=0}^{5} (p_{k}+q_{k}) T^{k}$$

und es ist L(p+q) = f_p+q =und für alle x ∈ F₂ gilt

f_p+q(x) = $\sum \limits_{k=0}^{5} (p_{k}+q_{k}) x^{k}$

= $\sum \limits_{k=0}^{5} (p_{k}x^k +q_{k}x^{k})$

= $\sum \limits_{k=0}^{5} p_{k}x^k + \sum \limits_{k=0}^{5} q_{k}x^{k}$

= f_p(x) + f_q(x) .

Die Abbildungen f_p+q und f_p+f_q stimmen also für alle x des

Definitionsbereiches überein, sind somit gleich. Also ist L(p+q)=L(p)+L(q).

So ähnlich zeigst du auch die Homogenität.

Comments

danke
Es hat mir mega weiter geholfen :D