Bedingte Wahrscheinlichkeit Aufgabe

Question

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Aufgabe 2.3:
Komponenten eines bestimmten Typs werden von einer Firma in Kisten zu je 10 Komponenten versendet. Man nimmt an, dass $50 \%$ dieser Kisten keine, $30 \%$ eine und $20 \%$ zwei defekte Komponenten beinhalten. Zwei Komponenten werden nunmehr aus einer Kiste entnommen und geprüft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Kiste mit keiner, einer oder zwei defekten Komponenten ausgewählt hat, und zwar unter folgende Bedingungen:
a) Keine der Komponenten ist defekt.
b) Eine der beiden Komponenten ist defekt.

Ansatz:

Ich vermute, dass man dieses Beispiel mithilfe der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit löst, also: P(A|B) = P(AB)/P(B) nur weiß ich weder wie man auf P(AB) noch wie man auf P(B) kommt. :(

Answer 1

Zufallsgröße $K$: Anzahl der defekten Komponenten in der Kiste.

Zufallsgröße $S$: Anzahl der defekten Komponenten in der Stichprobe.

dass man eine Kiste mit ... einer ... defekten Komponenten ausgewählt hat, und zwar unter folgende Bedingungen:
a) Keine der Komponenten ist defekt.

Gesucht ist $P(K=1 | S=0)$.

P(A|B) = P(AB)/P(B)

Ja. Also

        $P(K=1 | S=0) = \frac{P(K=1 \wedge S=0)}{P(S=0)}$

Dabei ist $P(K=1 \wedge S=0) = \frac{30}{100}\cdot \frac{9}{10}\cdot\frac{8}{9}$ weil wenn $K=1$ ist, dann muss die erste ausgewählte Komponente eine der 9 funktionstüchtigen sein und die zweite eine von den dann nur noch 8 funktionstüchtigen.

Das kann man sich auch an einem Baumdiagramm mit drei Ebenen klar machen:

1. Ebene gewählte Kiste

2. Ebene erste ausgewählte Komponente

3. Ebene zweite ausgewählte Komponente