Wenn X Normalverteilt ist mit N(mu=200, Var=20) und Y = 3/4*X, sind X und Y dann stochastisch unabhängig? Und lässt sich etwas über die gemeinsame Wahrscheinlichkeit aussagen P(190 ≤ X ≤ 200;140 ≤ Y ≤ 160)?
Y = 3/4*X
Dann können X und Y nicht stochastisch unabhängig sein. Zum Beispiel ist
P(Y>0)>0P(Y > 0) > 0P(Y>0)>0
aber
P(Y>0∣X<0)=0P(Y>0 | X < 0) = 0P(Y>0∣X<0)=0.
P(190 ≤ X ≤ 200;140 ≤ Y ≤ 160)?
P(190≤X≤200;140≤Y≤160)= P(190≤X≤200;140≤34X≤160)= P(190≤X≤200;140⋅43≤X≤160⋅43)\begin{aligned} &P\left(190 \leq X \leq 200;140 \leq Y \leq 160\right)\\ =\, &P\left(190 \leq X \leq 200;140 \leq \frac{3}{4}X \leq 160\right)\\ =\,& P\left(190 \leq X \leq 200;\frac{140\cdot 4}{3} \leq X \leq \frac{160\cdot 4}{3}\right)\end{aligned}==P(190≤X≤200;140≤Y≤160)P(190≤X≤200;140≤43X≤160)P(190≤X≤200;3140⋅4≤X≤3160⋅4)
Vielen dank, bei Unabhängigkeit wäre die gemeinsame Wahrscheinlichkeit P(190 ≤ X ≤ 200;140 ≤ Y ≤ 160) ja das Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten. Kann man hier die gemeinsame Wahrscheinlichkeit berechnen, oder schreibt man einfach die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten in die Klammer mit ; getrennt?
Es ist
P(190≤X≤200;140⋅43≤X≤160⋅43)=P(190≤X≤200)P\left(190 \leq X \leq 200;\frac{140\cdot 4}{3} \leq X \leq \frac{160\cdot 4}{3}\right) = P\left(190 \leq X \leq 200\right)P(190≤X≤200;3140⋅4≤X≤3160⋅4)=P(190≤X≤200)
weil das Intervall (190,200)(190,200)(190,200) Teilmenge des Intervalls (140⋅43,160⋅43)\left( \frac{140\cdot 4}{3}, \frac{160\cdot 4}{3}\right)(3140⋅4,3160⋅4) ist.
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