(1+\frac{1}{3n+1)})3n+1 den Grenzwert?

Question

Wie berechnet man von

$$(1+\frac{1}{3n+1)})^{3n+1}$$  den Grenzwert?

Meine erste Idee wäre, die Potenzen aufzuteilen, also:

$$(1+\frac{1}{3n+1)})^{3n} * (1+\frac{1}{3n+1)})^{1}$$

Dadurch ginge (korrigiert mich bitte wenn ich falsch liege) der Term mit der Potenz 1 doch gegen 1 für n gegen ∞

Der andere Term bereitet mir jedoch Kopfzerbrechen. Ich würde glaube ich erst einmal den inneren Term umformen also:

$$(\frac{3n+1}{3n+1}+\frac{1}{3n+1)})^{3n}$$ und damit zu $$(\frac{3n+1}{(3n+1)^2})^{3n}$$

normalerweise würde ich jetzt (aus Erfahrung heraus) versuchen den höchsten Term jeweils auszuklammern und so zb 1/x zu bilden um zu gucken welcher Ausdruck dominiert um dem Grenzwert abzuschätzen. Aber die Potenz hat ja auch ein n. Was kann man da machen?

Answer 1

Der Grenzwert ist e, weil Nenner und Exponent gleich sind.