94%-Konfidenzintervall für Erwartungswert

Question

Aufgabe:

Ein Seidenzuckerhersteller produziert Seidenzucker, der in Packungen zu je 1250g abge-
füllt wird. Um festzustellen, ob diese Angabe auch den Tatsachen entspricht, werden 250
Packungen überprüft. Dabei erhält man x ̄ = 1242 und s²_n-1 = 10949 als Maßzahlen. Berechnen Sie das 94%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert des Gewichts.

Lösung
Das Konfidenzintervall mit einer statistischen Sicherheit von 1 − α für den Erwartungswert μ lautet

Text erkannt:

\( \left[\bar{X}-N_{1-\alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^{2}}{n}}, \bar{X}+N_{1-\alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^{2}}{n}}\right] \)

Um ein Konfidenzintervall mit einer statistischen Sicherheit von 1 − α = 0.94 zu bekommen,
ist N1−α/2 gleich dem 97% Quantil der Standardnormalverteilung, das durch das Ablesen in
der Normalverteilungstabelle als gleich 1.8808 bestimmt werden kann. Die wahre Varianz
σ2 wird durch die Stichprobenvarianz σˆ2 = s2_n-1 geschätzt. Das Konfidenzintervall lautet somit:

Meine Frage:

Wie komme ich auf die 97%?

Answer 1

94% sind "drin" im (symmetrischen) Intervall → 6% sind außerhalb, und zwar zu je 3% unter der unteren Begrenzung und zu 3% über der oberen Begrenzung.

Die obere Begrenzung trennt also die schwersten 3% von den übrigen 97%. Daher musst du in der Tabelle 0,97 aufsuchen.

Comments

Warum wäre es dann bei dem folgenden Beispiel nur 5% und nicht 2.5% (--> 97.5%) ?

Aufgabe:

Eine Überprüfung von vergleichbaren, zufällig ausgewählten Betrieben verschiedener Branchen, bei der die Höhe X (in GE) der mit Ende 2006 unbezahlt gebliebenen Rechnungen erfasst wurde, brachte folgendes Ergebnis:

Text erkannt:

\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
\hline Branche & Anzahl überprüfter Betriebe & Mittelwert \( \bar{x} \) & \( s_{n-1}^{2} \) \\
\hline Gastgewerbe & 45 & 36.76 & 123.87 \\
Bauwirtschaft & 30 & 61.22 & 137.22 \\
Metall & 45 & 64.95 & 163.53 \\
Uhren und Schmuck & 40 & 35.09 & 113.64 \\
Leder und Pelze & 45 & 71.32 & 214.31 \\
\hline
\end{tabular}

Geben Sie für die Branche Gastgewerbe ein 95-prozentiges Konfidenzintervall für den Er- wartungswert von X an.

Lösung:

Das 95%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ lautet

Text erkannt:

\( \left[\bar{x}-1.96 \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^{2}}{n}}, \bar{x}+1.96 \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^{2}}{n}}\right] \)

Text erkannt:

\( =\left[36.76-1.96 \sqrt{\frac{123.87}{45}}, 36.76+1.96 \sqrt{\frac{123.87}{45}}\right] \)
\( =[33.508,40.012] \)

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Warum wäre es dann bei dem folgenden Beispiel nur 5% und nicht 2.5% (--> 97.5%) ?

Wer behauptet das? In der Musterlösung wird 1,96 verwendet. Der Tabellenwert dazu ist doch 0,975.

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Denkfehler von mir!