Wendepunkt und Hochpunkt zur Exponentialfunktion mit zwei Parameter

Question

Aufgabe:

habe folgende Funktion zu der ich den Wendepunkt und Hochpunkt ermitteln möchte

f_a;b(x)=axe^-bx

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits die ersten zwei Ableitung gebildet von den ich weiß, das diese richtig sind, da ich diese mit den Taschenrechner kontrollieren konnte. Bei der dritten bin ich mir unsicher

f_a;b(x)’=e^-bx(a-bax)

f_a;b(x)’’=e^-bx(b²ax-2ab)

f_a;b(x)’’’=e^-bx(-b³ax+2ab²+2ba)

Wenn ich nun die erste Ableitung gleich 0 setze erhalte ich für x=1/b und für die zweite Ableitung x=2/b.

Wie kann ich diese in die zweite Ableitung bzw. dritte Ableitung einsetzen und weitestgehend vereinfachen damit die hinreichende Bedingung für ein Maximum (<0) und eines Wendepunktes ungleich 0 gegeben ist.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Wie kann ich diese in die zweite Ableitung einsetzen ?

f ' ' (1/b) = - a * b * e^(-1) .

Falls a,b beide positiv vorgegeben sind, wäre das negativ,

also dort ein Maximum.

Comments

vielen Dank für die schnelle Antwort.

Ist mein Gedanke richtig, wie du auf die Lösung gekommen bist und zwar ergibt sich ja diese e^(–1) indem auf beiden Seiten das B gekürzt worden ist. Und das –a*b ergibt sich indem –2ab+ ab(b² a*1/b= b²a/b)verrechnet worden ist oder. Könntest du eventuell meine dritte Ableitung kontrollieren, dann kann ich es selber mal mit der Wendestelle ausprobieren :)

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3. Ableitung ist (etwas) falsch: Wäre so:

e^-bx(-b³ax+2ab²+2b²a) = (-ab³x + 3ab²)*e^-bx

und 2/b einsetzen gibt dann ab²e^-2  .

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Vielen Dank wünsche dann noch einen angenehmen Abend :)